壓縮感知中採樣與重建的理論及算法研究

《壓縮感知中採樣與重建的理論及算法研究》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由許志強擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：壓縮感知中採樣與重建的理論及算法研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：許志強
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

針對壓縮感知中的採樣與重建進行理論與算法研究。主要針對稀疏Fourier三角多項式與Toeplitz矩陣情形，因為此兩種情形具有廣泛的套用背景。對於稀疏Fourier三角多項式，當前主要是隨機採樣方法。我們擬採用數論中的方法構造確定性採樣，從而使採樣矩陣具有較好的性質。針對此類採樣，擬構造與之相應的子線性複雜度算法，從而可精確重建稀疏三角多項式。研究隨機Toeplitz採樣矩陣的RIP性質，並構造與之相應的快速重建算法。考慮上述採樣與重建方法的個例最優性及穩定性。此外，擬研究在一類字典或框架表示下具有稀疏特徵的信號採樣、重建算法，以及數據量化對採樣與重建方法的影響。並最終將上述方法用於陣列雷達處理和高分辨稀疏成像中。

結題摘要

壓縮感知主要利用信號的特徵，如在一組基底表示下稀疏等，從而可減少觀測次數。本項目主要針對壓縮感知中的基礎理論與算法方面進行了研究。重建算法方面，與壓縮感知中流行的L1解碼相比，貪婪算法通常具有速度上的優勢。但由於貪婪算法是數據驅動的算法，相應理論結果較少。我們針對壓縮感知中流性的正交多匹配追擊算法進行了分析，證明了其可在s步內恢復一個s稀疏信號。在壓縮感知中，所觀測到的數據需要進行量化，而最簡單的量化方式是記錄觀測值的符號。那么，通過觀測值的符號對信號進行恢復被稱為1-位壓縮感知。針對1-位壓縮感知，設計了求解1-位壓縮感知的快速 STrMP 算法。數值試驗表明，該算法在速度上優於現有算法，在計算結果的精確度上也與現有最好算法相當。壓縮感知中另外一個關鍵問題是採樣矩陣的構造與設計。採樣方面，部分Fourier觀測矩陣的構造是壓縮感知中的一個基本性問題，文獻中的方法主要是基於隨機方法。利用了有限域中的著名的Katz指數和定理，我們構造了一類確定性的觀測矩陣，並證明了其具有優良的恢復性質。其中，針對確定性觀測矩陣中的一些問題，對Katz指數和定理進行了改進。數值實驗表明，所構造的確定性矩陣優於流行的隨機部分Fourier矩陣；利用數論中的Weil指數和定理，考慮了稀疏代數多項式的採樣，並研究了稀疏插值的理論基礎。壓縮感知中，很多時候人們難以得到具體的觀測值，而只能得到無相位觀測值。那么，利用無相位觀測值對信號進行恢復是一個重要的問題。針對此類問題，我們將壓縮感知中的一些基本結果，包括零空間性質，RIP性質等擴展到無相位觀測。特別是，我們定義了強RIP性質，並證明了高斯隨機矩陣滿足強RIP性質。在相位恢復問題中，一個基本問題就是最小觀測次數問題。針對此類問題，我們首先研究了低秩矩陣最小觀測次數問題。對該問題，比較有名的是Eldar－Needell －Plan猜想。該猜想宣稱：若恢復秩不超過ｒ的　n　階矩陣的　最小觀測次數為4nr-4r^2 。藉助代數幾何中行列式代數簇的次數及維數公式，我們證明了該猜想對復矩陣成立。對於實矩陣情形，我們構造了一個反例，表明在４階情形，該猜想並不成立。進而否定的回答了2n-1次觀測是否為最小的公開問題。項目共接收發表14篇論文，其中11篇發表於SCI檢索期刊上。