基於電磁場傳播的特徵值問題的計算及套用研究

《基於電磁場傳播的特徵值問題的計算及套用研究》是依託東南大學，由李鐵香擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：基於電磁場傳播的特徵值問題的計算及套用研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：李鐵香
• 依託單位：東南大學

中文摘要

本項目研究由新型材料中的電磁波傳播問題引起的特徵值問題。這類問題的有效數值求解對理解新型材料的介質機理和傳播特性具有重要的意義，數學上對應於一類大規模廣義或非線性特徵值問題的有效計算。通過對廣義Maxwell方程組連續模型的有效離散，首先建立了有限維空間的基於邊界條件和介質內部性質的逼近模型。對此模型，進而利用矩陣計算的相關理論和現代方法，提出了一類自動計算最小非零實特徵值的方法，該類特徵值提供了光子晶體材料能帶結構計算的數值基礎。同時對電磁波散射中出現的一類透射特徵值問題，研究了非零實特徵值及相應特徵向量計算的有效數值方法，該結果保證了新近發展的一類逆散射重建方法的有效實現。最後，利用這些有效的數值算法，提出了通過模擬介質特性進而設計出具有最大光子禁頻寬度的參數分布的晶體材料的方法，本結果對材料科學中新型材料的設計具有重要的指導意義。

結題摘要

本項目主要研究由新型材料中的波場傳播問題引起的大規模特徵值問題，這類問題的有效數值求解對理解新型材料的介質機理和傳播特性具有重要的意義，數學上對應於大規模的具有特殊結構特徵的廣義或非線性特徵值問題的有效計算。我們按照原定計畫開展了研究，對14 種布拉維晶格結構的各向同性三維光子晶體材料的能帶結構計算發展了快速算法，結合GPU計算技術，搭建了高性能數值仿真平台；對三維手性光子晶體材料的波場傳播行為進行了計算和分析，該研究對光子晶體材料在隱身領域的套用提供了理論基礎；對各向異性三維光子晶體的 Maxwell 方程組模型發展了有限元離散方法，並提出了相應的快速算法；對 TM 模的電磁場建立了 Tellegen 模型和Pseudo-Chiral模型，對相應的透射特徵值問題發展了求解少量最小正特徵值的割線法和求解大量實特徵值的Jacobi-Davidson 方法，並利用求得的特徵值建立了反演散射體區域邊界的數值方法。期間，我們還研究了其他相關的矩陣特徵值計算問題，包括對來自量子物理學領域的線性回響特徵值問題和 Bethe-Salpeter 特徵值問題發展了兩類分別用於中小規模和超大規模的保結構算法；對一個四階含參數的微分方程解的存在性給出了理論證明；對一個廣義代數Riccati方程發展了保結構的加倍算法，通過對子空間進行分離再組合的技巧精確地求解了該方程的穩定解。在本項目的支持下，我們取得了一系列研究成果：完成了 11 篇相關的學術論文，已發表論文 9 篇，其中SCI收錄 8 篇；培養了 10 名研究生，其中碩士生 6 名，博士生 4 名；在 2018 年成功舉辦了世界華人數學家聯盟2018計算與套用數學會議”(ICCM 2018 Workshop on Computational and Applied Mathematics)。基於本項目的工作基礎，項目組成員在2016和2017年成功申請到國家自然基金-青年項目2項和面上項目1項，申請人獲得2017年世界華人數學家聯盟最佳論文獎—若琳獎，與兄弟院系合作申請了GPU 高性能計算在國家電網系統中的套用的橫向課題，推進了交叉學科的發展。