圓周等分問題(problem of the division of thecircle)古典著名的幾何作圖問題之一用直尺和圓規可以將圓周幾等分。
基本介紹
- 中文名：圓周等分問題
- 外文名：problem of the division of thecircle
圓周等分問題(problem of the division of thecircle)古典著名的幾何作圖問題之一用直尺和圓規可以將圓周幾等分?古希臘人已經掌握了尺規3,4,5,6,8,10,12,15等分圓周.不難證明，如果n與k是互素的正整數，則必存在兩個正整數即兩段5等分弧減去一段3等分弧得出15等分的一段弧.由此可知，只須討論圓周的任一素數冪等分即可.
1801年，德國數學家高斯(Gauss, C. F.)在他的《算術研究》的最後一節，考察了分圓方程xP-1一。，這裡p是素數，並且得出結論:分圓方程可分解成一系列方程f:(二)= 0 , .fZ(二)一。，…，其中每一個方程的係數是前面方程的根的有理函式且它們的次數恰是p-1的素因子.因此，當p-1不含有奇素 數因子時，則方程關(x)=0都是二次的，它的根可 用平方根式表出，因而可尺規作圖.此時，p-1 = 2 ,，即素數p=2’十1，不難證明形如2’十1的數 是素數時必有m = 2.由此高斯得出結論:當p是形 如22”十1的素數，即為費馬素數時，則可用尺規將 圓周p等分.一般地有，當正整數k=2’或k= 2爭1 pz ... pt，式中‘是非負整數，p pz,...,pz(t為自 然數)是不同的費馬素數時，可用尺規將圓周k等 分，或等價地說成，尺規可作正k邊形. 對於圓周k等分來說，關於數k的上述條件也 是必要的.必要性證明是法國數學家旺策爾 (Wantzel,P. - L.)在1837年首次給出的.到目前為 止，人們只知道5個費馬素數:3,5,17,257,65537. 因此，在高斯條件中所含的不同費馬素數的個數t 鎮5.圓周3,5等分在古希臘時代已解決.圓周17等 分是高斯在 1796年3月29日獲得的.圓周257等 分為德國數學家裡歇洛(Richelot , F. J.)所完成，作 圖過程長達80頁.圓周65 537等分，經赫姆斯(Her- mes. P.)莎了10年時間才字成.
