伽利略定理

伽利略定理

伽利略定理(Galilei theorem)是著名的圓面積等分定理,若OA為⊙O的半徑,點M,N為OA的三等分點,以OA為直徑作半圓,且過點M,N作OA之垂線交半圓於點P,Q,則以O為圓心,OP,OQ為半徑之圓,必將最初的圓面積三等分,此定理由伽利略(G.Galilei)提出。

基本介紹

  • 中文名:伽利略定理
  • 外文名:Galilei theorem
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:平面幾何(圓)
  • 簡介:著名的圓面積等分定理
  • 提出者:伽利略(G.Galilei)
定理介紹,定理的證明,

定理介紹

定理1 以⊙O(R)的半徑OA為直徑作半圓,三等分OA於B、C,自B、C引OA的垂線交所作半圓於D、E(圖1),則以O為圓心,各過D和E點的兩圓周必三等分原圓⊙O(R)的面積。
伽利略定理
圖1
定理2 甲乙兩多邊形彼此相似,假設甲形外切於某圓,乙形和某圓等周,則某圓的面積是甲乙兩形面積的比例中項
定理1和定理2均稱伽利略定理伽利略(Galilleo,1564-1642年)是十七世紀初葉義大利著名的物理學家和天文學家。

定理的證明

定理1的證明
證明 連結OD和OE,則有
所以 ⊙O(OD)的面積
的面積,
⊙O(OE)的面積
的面積,
因此所作兩圓⊙O(OD)和⊙O(OE)恰好三等分原圓⊙O(R)的面積。
定理2的證明
證明 設甲形外切於⊙O(R),其半周為p,則其面積為:
乙形既和甲形相似(已知),故也有內切圓⊙O'(R'。又乙形和⊙O(R)等周(已知),可見乙形的半周為:
從而乙形的面積為:
於是
另一方面,由於甲乙兩形相似,有
那么
所以
則定理得證。

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