單連通域是直觀上沒有洞的平面區域的推廣，即區域內任何一條簡單閉曲線的內部沒有不屬於D的點。
基本介紹
- 中文名：單連通域
- 外文名：simply connected region
- 適用範圍：數理科學
簡介,區域,若爾當區域,
簡介
設D為平面區域，如果D中任一閉曲線所圍成的部分都屬於D，則稱D為平面單連通區域。直觀的說，平面單連通域就是沒有空洞的域，否則稱為復連通域。
區域
[domain]
設 E 是複平面上的點集。如果對點 z，存在某個領域，使得這個鄰域中的點都包含在 E 中，則稱點 z 是點集 E 的一個內點（inner point）。如果 E 的每個點都是它的內點，則稱 E 是一個開集（open set）
若對於複平面上的點集 E 內任何兩點，都可用一條落在 E 內的折線將它們連線起來，則稱集合 E 為弧連通的（arcconnected）。
若複平面上的一個集合 D 既是一個開集又是弧連通的，則稱為區域。
若爾當區域
設 D 是一個區域。如果對點
，有一個鄰域使其全部不屬於 D ，則稱為區域 D 的外點（exterior point）。如果對點，在它的任意一個鄰域中，總有 D 中的點和不屬於 D 的點，則稱為 D 的邊界點（boundary point）。區域 D 的所有邊界點構成的集合，稱為區域的邊界（boundary），記作
。區域 D 連同它的邊界所組成的集合，即
，稱為閉區域（closed domain），記作
。
如果一個區域 D 的邊界由有限個互不相交的若爾當閉曲線組成，則稱為若爾當區域（Jordan domain）。
如果一個區域 D 中任意一條若爾當閉曲線，在該區域中經過連續變形後總可以縮成該區域中的一點，則稱該區域為單連通區域（simply connected domain）。例如，整個複平面；一個圓的內部；一條帶狀的區域或者由一條若爾當閉曲線作邊界的若爾當區域，都是單連通區域。
非單連通的區域稱為多連通區域（multiply connected domain）。例如，一個環形的區域；邊界曲線多於一條的若爾當區域，都是多連通區域。
若爾當證明了下述定理：任意一條若爾當閉曲線將複平面分成兩個開區域，它們以此曲線為其公共邊界。兩個區域中有一個是有界的，稱為若爾當曲線的內部；另一個區域是無界的，稱為若爾當曲線的外部。
