閉區域

閉區域

閉區域(closed region)是指簡單閉曲線及它的內部,構成“平面閉區域”。類似地,可定義空間閉區域。也稱區域與它的邊界的並集稱為閉區域。區域(region)是幾何學的基本概念之一,如果一個平面圖形(封閉圖形,不包含其內部)能將平面上不屬於圖形上的點分為若干個部分,使得同一部分任意兩點可以用一條與圖形無公共點的折線連結,不同部分的任意兩點不能用與圖形無公共點的折線連結,那么這個平面的每個部分都稱為一個區域,該圖形稱為區域的邊界。如果某一個區域的任意兩點可以用與該圖形無公共點的線段連結,那么這個區域稱為凸區域。例如,一直線分平面為兩個凸區域,兩相交直線分平面為四個凸區域,三角形分平面為兩個區域,其中只有一個凸區域(三角形的內部)。一個區域連同它的邊界稱為閉區域

基本介紹

  • 中文名:閉區域
  • 外文名:Closed Region
  • 所屬學科:數學(幾何學)
  • 相關概念:區域、連通、開集、開區域等
定義,定義1,定義2,相關概念,平麵點集,鄰域,開集,連通,區域的定義,簡單曲線與閉曲線,單連域與多連域,常見的區域,閉區域上多元連續函式的性質,有界性定理,最大值和最小值定理,介值定理,

定義

定義1

連通開集稱為開區域,簡稱區域。開區域連同其邊界所構成的集合稱為閉區域

定義2

區域
和它的邊界構成的區域稱為閉區域,記為
。若區域
可以被包含在一個以原點為中心的圓內,則稱
是有界的;否則稱為無界的。

相關概念

平麵點集

有限個點或無限個點的集合稱為點集,複平面上的點集可視為複數的集合。

鄰域

複平面上以
為中心,以
為半徑的圓的內部點(包括
或不包括
)的集合,即滿足不等式
的點
的集台,稱為
的鄰域。

開集

若平麵點集
中每一個點至少存在一個鄰域全部包含於
內,則
稱為開集。

連通

若平麵點集
中任何兩點,都可用完全屬於
的一條折線連線起來,則稱
是連通的。

區域的定義

若平麵點集
滿足如下兩條件:
1.
是開集;
2.
是連通的。
那么,稱
為區域。

簡單曲線與閉曲線

簡單曲線
設連續曲線
,如果對於
內的任意
,對應有
,那么稱此曲線C是簡單曲線。
閉曲線
設連續曲線
,如果
,那么稱曲線C是閉曲線。
閉曲線的內部與外部
簡單閉曲線將複平面分為兩個區域:
1. 被閉曲線C包圍的有界域稱C的內部;
2. 不被閉曲線C包圍的無界域稱C的外部。

單連域與多連域

單連域
如果在區域D內任作的簡單閉曲線的內部全都包含在D內,那么稱D為單連域
多連域
不是單連域的區域稱為多連域。

常見的區域

表1 常見的區域
區域
不等式
圓域
角形域
帶形域

圓環域

(復連通域)

閉區域上多元連續函式的性質

與閉區間上一元連續函式的性質相似,在有界閉區域上多元連續函式有如下重要性質。

有界性定理

有界閉區域D上的多元連續函式必定在D上有界。

最大值和最小值定理

有界閉區域D上的多元連續函式在D上一定存在最大值和最小值。

介值定理

有界閉區域D上的多元連續函式必定能在D上取得介於它的最大值與最小值之間的任何值。

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