《單色芬斯勒流形的曲率》是依託南開大學，由黃利兵擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：單色芬斯勒流形的曲率
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：黃利兵
- 依託單位：南開大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
一個芬斯勒流形，如果各點的切空間彼此線性等距，則稱它為單色芬斯勒流形。 相應的度量稱為單色芬斯勒度量。這一定義包含了許多重要的芬斯勒度量，如Berwald度量， 齊性空間的不變度量，等等。研究單色芬斯勒流形既有重要的理論意義，也有廣闊的套用前景。申請人在近幾年已發表了多篇與此相關的研究論文，具備進一步探索的基礎。在本項目中，將對單色芬斯勒度量的曲率展開一系列研究，主要是對旗曲率、里奇曲率和Landsberg曲率的研究。本項目擬解決的問題包括：在一定條件下，尋找新的旗曲率為常數或里奇曲率為常數的單色芬斯勒流形的例子，可能的情況下將予以分類；在某些特定的流形上，探索曲率定號的單色芬斯勒度量的存在性；尋找Landsberg曲率或弱Landsberg曲率為零的單色芬斯勒流形的例子，即探索Landsberg流形的存在性問題。
結題摘要
芬斯勒幾何中，最重要的幾種曲率量包括旗曲率、Ricci曲率和Landsberg曲率。在芬斯勒流形上，每一點的切空間都是Minkowski空間。當這些Minkowski空間彼此線性同構時，相應的芬斯勒流形稱為單色的。對單色芬斯勒流形的曲率進行研究，有助於我們深入理解曲率的內涵，也有助於我們發現新的具有特殊曲率性質的芬斯勒流形。在所有的單色芬斯勒流形中，齊性芬斯勒流形的幾何內涵最為豐富。我們導出了齊性芬斯勒流形的旗曲率、Ricci曲率以及Landsberg曲率的公式，並將它們統一用李代數中的兩個張量場來表示。利用這些公式，我們證明了一系列結論，推廣了J. Wolf、J. Milnor和胡志廣-鄧少強的結果，得到了陳省身關於愛因斯坦度量的存在性問題在齊性情形的否定答案，並在正曲率齊性流形的探索中獲得重要進展。此外，對二維常曲率齊性流形，我們獲得了局部標準形；找到了一大批余齊性為1的共形平坦度量。
