《一類芬斯勒度量的非黎曼曲率的研究》是依託河南師範大學，由朱紅梅擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：一類芬斯勒度量的非黎曼曲率的研究
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：朱紅梅
- 依託單位：河南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
芬斯勒幾何就是在度量上沒有二次型限制的黎曼幾何。它經陳省身先生大力提倡，近二十多年取得了蓬勃發展。S曲率是一個非常重要的非黎曼幾何量，它無論在局部還是整體芬斯幾何中都占有很重要的地位。S曲率是沈忠民教授為研究芬斯勒幾何中的體積比較定理而引入的。廣義(alpha,beta)度量是既豐富又重要的一類芬斯勒度量，它們包含(alpha,beta)度量、球對稱度量、R. Bryant構造的部分度量和部分廣義m次根度量等。因此，廣義(alpha,beta)度量構成了很大一類芬斯勒度量，這有利於找出更多具有很好性質的芬斯勒度量。本項目擬以具有迷向S曲率的廣義(alpha,beta)度量為研究對象，利用李群和偏微分方程的理論，通過beta形變的方法，藉助Maple研究具有迷向S曲率的廣義(alpha,beta)度量的局部結構。我們旨在刻劃和分類此類度量。本項目的實施將促進國內外局部和整體芬斯勒幾何的發展。
結題摘要
芬斯勒幾何是在度量上沒有二次型限制的黎曼幾何。它經陳省身先生大力提倡，近二十年來取得蓬勃發展。芬斯勒幾何中存在若干重要的問題：其一，尋找和刻劃n維歐氏空間中開集上的射影平坦芬斯勒度量，這正是正則情形下希爾伯特第四問題；其二，分類常旗曲率的芬斯勒度量，這是由鮑大衛和陳省身先生提出的；其三，弄清具有非黎曼曲率性質的芬斯勒度量的結構。本項目基於目前國內外研究熱點，重點研究以下內容：(1) 局部射影平坦的芬斯勒度量；(2) 常旗曲率的芬斯勒度量；(3) 具有非黎曼曲率性質的芬斯勒度量。本項目取得以下重要結果：(1) 刻畫了常旗曲率球對稱度量並構造出新的非射影平坦且具有常旗曲率-1和0的球對稱度量的例子； (2) 刻畫了局部射影平坦的球對稱度量並構造出新的局部射影平坦且旗曲率為零的球對稱度量；(3) 分類了一類Douglas 奇異平方度量； (4) 給出具有GDW型球對稱度量的刻畫方程並分類了一類具有GDW型球對稱度量；(5) 對一類具有迷向S曲率的球對稱度量進行了分類；(6) 對一類具有迷向Berwald曲率的廣義(alpha,beta) 度量進行了分類；(7) 刻畫了所有Douglas廣義 (alpha,beta)度量並構造出新的例子。
