《一類新的芬斯勒度量的曲率性質》是依託華南師範大學，由余昌濤擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：一類新的芬斯勒度量的曲率性質
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：余昌濤
- 依託單位：華南師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
廣義(α，β)度量是申請人在2011年引入的一類新的芬斯勒度量，它由一個黎曼度量α和一個1形式β所定義，是Randers度量在幾何上的自然推廣。這類度量所對應的Minkowski範數具有僅次於歐氏範數的對稱性,這使得它具有良好的對稱性和可計算性。廣義(α，β)度量不僅包含了所有(α，β)度量和球對稱芬斯勒度量，還包含了部分m根度量和Bryant度量，這使得我們可以用一種統一的方式來研究目前芬斯勒幾何中的熱點問題。本項目將著重研究具有良好曲率性質的廣義(α，β)度量的刻畫和構造，闡述它們與黎曼度量之間的區別和聯繫。同時，我們還將結合對偶平坦廣義(α，β)度量的研究，闡述芬斯勒幾何在信息幾何中的套用。在上一個項目中申請人引入的度量形變工具將在本項目的研究中發揮關鍵的作用。我們將通過本項目展示廣義(α，β)度量豐富的內在結構,及其非傳統的研究方法。
結題摘要
在上一個國家自然科學基金項目中，負責人引入了一類被稱為廣義 (α,β) 度量的新的芬斯勒度量。本項目，我們著重研究廣義 (α,β) 度量的若干幾何性質，包括其黎曼曲率、對偶平坦性以及若干非黎曼曲率性質。在這幾個方面，我們均取得了積極的進展。首先，我們給出了適當條件下常旗曲率廣義 (α,β) 度量的等價刻畫以及完全分類，該結果不僅把幾類已知的著名芬斯勒度量（Randers 度量、Berwald 型度量、Bryant 型度量以及 Shen 型度量）有機地統一起來，而且還產生了許多新的常曲率芬斯勒度量。在這些新度量中，有兩類度量顯得尤為特殊，我們把它們分別稱為奇異 Randers 度量以及奇異 Berwald 型度量。它們分別是著名的（正則） Randers 度量以及（正則） Berwald 型度量奇異化後的產物。本項目也對這兩類度量的黎曼曲率性質做了一些初步的研究，相關的結果展示了這兩類奇異度量與正則情形存在微妙而本質的區別。其次，我們給出了適當條件下對偶平坦廣義 (α,β) 度量的等價刻畫，由此我們可以構造無窮多新的對偶平坦芬斯勒度量（尤其是黎曼度量）。最後，我們對具有零 Douglas 曲率的廣義 (α,β) 度量進行了深入的研究。我們給出了局部射影平坦 (α,β) 度量（這類度量具有零 Douglas 曲率以及零 Weyl 曲率）的完全分類結果，以及具有零 Douglas 曲率的 (α,β) 度量和奇異 Berwald 型度量的刻畫。 廣義 (α,β) 度量具有良好的可計算性，因此近些年它逐漸取代傳統的 (α,β) 度量成為芬斯勒幾何中新的研究熱點。在本項目中，目前我們總共撰寫 7 篇論文，其中 4 篇已經分別發表在 Math. Ann、 J. Math. Anal. Appl.、Diff. Geom. Appl. 和 Results Math. 上，另外三篇有待發表。我們認為，相關的結果對於幾何學家進一步研究芬斯勒幾何具有一定的啟發和借鑑意義。
