哈代不等式

哈代不等式(Hardy inequality)是與二重級數有關的不等式，即哈代(G.H.Hardy)研究二重級數時，於1920年建立的不等式。

基本介紹

• 中文名：哈代不等式
• 外文名：Hardy inequality
• 所屬學科：數學
• 提出者：哈代(G.H.Hardy)
• 提出時間：1920年
• 簡介：與二重級數有關的不等式

基本介紹

設a=(a₁，a₂，…，a_n…)是給定的無窮維向量，記A₀=0，=0．對於n=1，2，…，記

{A_n}是級數∑a_k的部分和序列，而{}是序列{a_n}的算術平均序列．在級數理論中有這樣一個著名的定理。

若，則．這就是說，a_n的收斂性是比的收斂性更強．哈代考慮了關於“屬於”的類似問題：若，即，則σ=(σ₁，σ₂，…，σ_n…)是否也屬於，其中p>1?對這個問題哈代給出了肯定的回答並且獲得了下述精確的哈代(Hardy)不等式。

定理1 設p>1，a是非負向量．那么當時，且成立著

或

其中等號僅當所有a_n=0時成立。

哈代不等式的證明

證明當所有a_n=0時(1)顯然成立等號．我們設a≠0，先設a₁≠0，又設q是p的共軛數，即。

由於

所以有

由楊格不等式得：

因此由（2）得：

令得

把他們都相加得

式（3）

因此

式（4）

利用赫爾德不等式我們有

把它同（4）相結合導出

兩邊除以，然後兩邊p次方，注意到立即得到

令即知收斂並且

式（6）

餘下還要指出(6)中等號不會成立．為此回到(4)和(5)，以∞代N得

式（7）

式（7）

由(6)，這裡的級數都是收斂的，由(7)兩邊除以後再p次方也得到(6)．因此當(6)成立等號時(7)也成立等號．由漢竇定理，當(7)中第二個等號成立時所有和成比例．由此導出(n=1，2，…)．因為且仃1=口1，故代入上式得五λ=1．這樣，有

這除非，而這與收斂相矛盾．因此(7)不能成立等號．由此即知(6)也不能成立等式．這樣，我們在的假設下證明了定理。

設都等於零，但(因為a≠0，這樣的s+1總存在)，其中s≥1．那么記

的話，根據時的(1)式得到

因為s≥1時，所以更有

式（8）

式8

容易見到，(因為)上式左邊等於，右邊等於

因此（8）式就是

證畢。

順便指出，上述哈代不等式中的係數是最佳的，也就是說在這個不等式中不可能用比它更小的數去代替它。