勒貝格微分定理

數學上，勒貝格微分定理是實分析的一條定理。這條定理大致是說，一個局部可積函式在幾乎每點的值，都是函式在該點為中心的無限小的球上的平均。換言之，該函式的定義域上幾乎處處都是勒貝格點。

基本介紹

• 中文名：勒貝格微分定理
• 外文名：Lebesgue differentiation theorem
• 分類：數理科學

定理敘述

設 為局部可積函式，m為 的勒貝格測度。那么 中幾乎處處的x都符合。

證明

因為這定理是關於函式的局部性質，不失一般性，可假設函式f定義在有界集合中，故f為可積函式。

定義

那么這定理就是對幾乎處處的x有Tf= 0。只需證對任何y> 0，集合{Tf>y}的測度為零。

對連續函式，這定理顯然成立。連續函式在 中稠密，故此對任意正整數n，有連續函式g使得 。

令 。由於g連續，有Tg= 0。

用三角不等式有

設 。（Mh為h的哈代－李特爾伍德極大函式。）從上式得

因為 ，所以有

若Tf>y，則有Mh>y/2或者|h| >y/2。因此

由哈代－李特爾伍德極大不等式得

由積分的基本性質有 ，故得 。因此

因為上式對所有正整數n成立，從而知m{Tf>y}=0。定理得證。