周期映射

周期映射是Hodge理論中的重要概念，由大數學家 Griffith（格列菲斯）首先引入。它主要反映了一族具有Hodges結構的緊複流形（特別是Kaehler流形）隨著參模位置變化時，其Hodges結構是如何變化的。

基本介紹

• 中文名：周期映射
• 原理：Hodge理論
• 引入：大數學家 Griffith
• 性質：n維的緊緻 複流形

具體定義

設Φ: χ→B 是由一族以B上點為參模的緊復流形構成的簇。換句話說，Φ是一個全純的正常（Proper）淹沒， 對B上每個點b, 纖維 X_b=Φ^{-1}(b) 是一個n維的緊緻 複流形。

在中心纖維X_0附近，每個纖維X_b都是彼此微分同胚的，因此他們具有相同的DeRham(德拉姆) 同調群 ： H^k(X_b, C)≌H^k(X_0, C). 這裡C是複數域。

假設X_0上有Hodge濾過（Hodge filtration）F^pH^k(X_0,C)：

F^0H^k(X_0,C) >F^1H^k(X_0, C)>......>F^kH^k(X_0,C),

b^{p,k}表示向量空間F^pH^k(X_0,C)的維數。

那么對中心纖維附近的其它纖維X_b也有相應的Hodge濾過 ，且對應的b^{p,k}保持一致。

因此當b∈B在0附近微小的變動時， F^pH^k(X_b,C) 作為線性空間 H^k(X_b, C)≌H^k(X_0, C)的線性子空間， 在隨著b作連續的轉動。 換句話說， 隨著b的變動， F^pH^k(X_b,C)作為格拉斯曼流形 Grass(b^{p,k}, H^k(X_0,C)) 中的點，也在變動。

周期映射就是反應這種變動的映射。 具體寫為

Ρ^{p,k}：B→Grass(b^{p,k}, H^k(X_0,C)) .

具體性質

格里菲斯證明了周期映射是全純映射， 並且導出了其切映射（即切空間之間的映射）的具體表示。我們會發現，這一切映射可以通過Kodaira-Spencer（小平邦彥 --斯潘色）映射誘導， 它反映了模空間在這一點處的切空間方向。

周期映射套用到代數曲面的纖維化 ， 就和代數曲線的很多經典定理聯繫起來， 特別是著名的Torelli定理。 這個定理是說，如果兩條曲線有相同的極化Hodge結構(Polarised HS)，那么它們必定同構--換句話說，在典範基下，它們有相同周期矩陣， 那么必同構。