基本介紹
- 中文名：可擴映射
- 外文名：expansive map
- 領域：數學
- 性質：動力系統
- 對象：度量空間
- 屬性：連續映射
概念,度量空間,連續映射,同胚的概念,微分同胚,
概念
可擴映射(expansive map)是一類重要的動力系統。設(M，d)是一個度量空間，f：M→M是一連續映射，如果存在常數ζ>0，使得對任意x，y∈M，x≠y，存在n≥0，滿足d(f(x)，f(y))≥ζ，那么就稱f是可擴映射。這時，ζ被稱為是f的一個可擴常數。該定義的等價說法之一是：如果存在常數ζ>0，滿足：
度量空間
度量空間亦稱距離空間。一種拓撲空間，其上的拓撲由距離決定。設R是一個非空集合，ρ(x，y)是R上的二元函式，滿足如下條件：
1.ρ(x，y)≥0且ρ(x，y)=0⇔x=y;
2.ρ(x，y)=ρ(y，x);
3.(三角不等式)ρ(x，y)≤ρ(x，z)+ρ(y，z);
則稱ρ(x，y)為兩點x，y之間的距離，R按距離ρ成為度量空間或距離空間，記為(R，ρ)。設A是R的子集，則A按R中的距離ρ也成為度量空間，稱為R的(度量)子空間。如果把上述距離的條件1改為ρ(x，y)≥0且ρ(x，x)=0，則稱ρ為R上的擬距離。當ρ(x，y)=0時，記x～y。～是R上的一個等價關係，記商集(即等價類全體)為D=R/～，在D上作二元函式ρ～：ρ～(x～，y～)=ρ(x，y)(x∈x～，y∈y～)，則ρ～是D上的距離，而(D，ρ～)稱為R按擬距離ρ導出的商(度量)空間。
度量空間(R，ρ)中的子集A稱為有界的，如果對x0∈R，存在常數M，使ρ(x0，x)≤M對A中的一切x成立。設x0∈R，r>0，則稱集合{x|x∈R，ρ(x，x0)<r}為以x0為中心，r為半徑的開球，或x0的r鄰域，記為O(x0，r)。又設A⊂R，若對任何x∈A，存在x的某個鄰域O(x，r)⊂A，則A稱為開集;而稱開集的補集為閉集.R中包含子集A的最小閉集就稱為A的閉包。
連續映射
設f為從拓撲空間E到拓撲空間F中的映射。稱f在E的點x0是連續的，如果對f(x0)在F中的任一鄰域W，在E中存在x0的鄰域V，使在f下V的象包含在W中；換言之，如果在f下f(x0)的任一鄰域的逆象是x0的鄰域。
稱f在E上是連續的(或簡稱f是連續的)，如果它在E的每一點都連續。
為使f是連續的，必須且只須F的任一閉集經由f的逆象是E的閉集，或F的任一開集經由f的逆象是E的開集. 但是E的開集(閉集)經由連續映射的正象不一定是F的開集(閉集)。
從E到F中的常映射是連續的.E的恆等映射是連續的。
任一從離散空間到拓撲空間的映射是連續的。
設E，F及G為拓撲空間，f為從E到F中的連續映射，而g為從F到G中的連續映射，則複合映射g°f是連續的.
當E與F為分別賦以距離d及e的度量空間時，為使f在x0點連續，其充分必要條件是：對任一嚴格正的實數ε，存在嚴格正的實數η，使得由關係d(x，x0)≤η可推出e(f(x)，f(x0))≤ε.若f為定義在R的子集P上的有限數值函式，則使f在x0點連續的充分必要條件是：對任一嚴格正的實數ε，存在嚴格正的實數η，使得對P的任一元素x，關係|x-x0| ≤η蘊涵：|f(x)-f(x0)|≤ε。
同胚的概念
同胚是拓撲空間之間的一種變換。若f是拓撲空間(X，T)到(Y，U)的單滿映射，並且f與f都是連續的，則稱f為同胚映射或拓撲變換。存在同胚映射的兩個拓撲空間稱為同胚的或拓撲等價的.同胚關係是等價關係。抽象空間的同胚是弗雷歇(Fréchet，M.-R.)於1910年開始研究的.在狹窄的意義下同胚的概念早已被龐加萊(Poincaré，(J.-)H.)引入。
設E與F為兩個拓撲空間。稱從E到F上的雙射為從E到F上的同胚，如果這一映射能建立一個從E之全體開集的集合到F之全體開集的集合上的雙射。
為使從E到F上的雙射是同胚，其充分必要條件是： 這個雙射是雙連續的。
從一緊空間到另一緊空間上的任一連續雙射是同胚。
微分同胚
微分同胚是微分流形之間的一類同胚映射。它與它的逆映射都是可微的。設M，N均為微分流形，對於映射f：M→N，若f是同胚映射，並且f，f都是C可微映射，則稱f為M到N上的C微分同胚。C微分同胚f：M→N簡稱M到N上的微分同胚.對於微分流形M，N，若存在(C)微分同胚f：M→N，則稱M與N是(C)微分同胚的微分流形，記為M
N。“”是微分拓撲學中的基本等價關係。微分拓撲的基本任務是研究微分流形在微分同胚下保持不變的性質，以及尋求在怎樣的條件下兩個微分流形是微分同胚的。米爾諾(Milnor，J.W.)於1956年證明，在S上至少存在兩個不微分同胚的微分構造.後來證實，S上恰好有15個這樣的不同的微分構造。
設E與F為R或C上的兩個賦范向量空間，U，V分別為E與F的開集. 稱從U到V中的映射f是(C類的)微分同胚，如果這個映射本身及其逆映射都是雙射，而且是連續可微的。
設p為大於1的整數。稱f是Cp-微分同胚，如果f及其逆映射都是雙射，而且是Cp類的映射。為使微分同胚f是Cp-微分同胚，只須f是C類的。
C∞-微分同胚的定義可同樣給出。
