協變微分

在數學分析里，我們已有了一個函式的微分和導數的概念。 這一概念中， 微分的對象是一個純量函式，其定義域是歐氏空間的一個區間，求導的方向就是坐標軸的方向（方嚮導數，梯度）。

在微分幾何里，人們希望推廣這個概念到一般微分流形上。首先求導（或求微）的對象從函式推廣到向量場（就是向量叢的截面，如切向量場和餘切向量場）， 定義域則移到了整個流形上（不再是平坦的空間）， 求導的方向可以是任何切向量的方向。 這樣得到的導數就稱為協變導數，其微分稱為協變微分。

從局部上看，這樣的導數和我們以前的偏導數相比多出了一堆修正值。這些修正值就是所謂的聯絡---這是近代微分幾何最重要的概念。 粗略的講，聯絡就是反映流形在外部大空間中看，所處的位置和彎曲程度。 但是，值得注意的是，我們定義的協變導數和協變微分實際上是內蘊的（就是說只和流形有關，與它的外部無關）。

如果是黎曼流形（就是有度量的流形），則可以唯一定義一種聯絡，稱為列維-奇維塔聯絡，從而有了一種協變微分定義。