半逆解法

在彈性力學中所發展的半逆解法就是針對所要求解的問題，先在待求應力分或位移分量中假設一部分未知函式的形式，然後將所假設的未知函式代入基本方程，並使全部的未知函式滿足所給定的邊界條件，求出另外一部分未知函式，得到問題的完整解答。

基本介紹

• 中文名：半逆解法
• 外文名：Semi-inverse method
• 例子：柱體扭轉和彎曲

簡介

彈性力學的柱體扭轉和彎曲問題屬於僅在端面上受力的柱體平衡問題。按彈性力學方法得到嚴格滿足邊界條件的解是很困難的。為此，利用聖維南原理，將邊界條件放鬆，即認為離端面足夠遠處的應力僅與端面上外力的合力及合力矩有關。這种放鬆了邊界條件的問題稱為聖維南問題。根據實驗，聖維南假設，柱體縱向纖維之間的作用力為零。聖維南問題的解是唯一的，對大部分問題，解可以通過間接或近似方法求出。間接方法主要有兩類：一類是半逆解法，即先在應力分量或位移分量中假設一部分未知函式的形式，然後將所假設的未知函式代入基本方程，由此求得另外一部分未知函式，並使全部的未知函式滿足所給定的邊界條件。另一類是薄膜比擬，即利用彈性薄膜同扭轉和彎曲問題的相似性，通過對薄膜的研究來確定扭轉和彎曲問題中的未知量。用彈性力學方法得到的結果，其精度高於材料力學中以平截面假設為基礎的結果。

半逆解法運用

扭轉

考慮等截面柱體，取z軸沿柱體縱軸方向，柱體兩端在xy平面內受扭矩T的作用。非圓柱體的扭轉問題中，截面不僅產生扭轉，而且產生翹曲。

由於單位柱長上截面的相對轉角θ較小，所以，x和y方向的位移u和v可認為是由截面作整體轉動引起的。由此可假設u=－θ_zy，v=θ_zx，並假設z方向的未知位移分量為w=θψ（x，y），式中ψ（x，y）稱為聖維南函式或翹曲函式，它滿足的基本方程式為：

邊界條件為：

式中s為邊界S的周向長度。求出ψ後，根據ψ與應力分量的關係以及平衡關係，可求出θ，進而可確定位移分量和應力分量。

以應力分量為基本未知函式求解扭轉問題時，根據聖維南的假設，正應力和xy平面內的剪應力為零，即，只有z平面上的剪應力是未知的，並表示為

（註：t_xy和t_yx分別改為t_xz和t_yz），式中Ψ（x、y）稱為普朗特函式或扭轉應力函式，它滿足的方程為：

其邊界條件為：

式中G為拉梅常數，又稱剪下模量；表示Ψs在邊界S上的值。

在求得Ψ後，利用有關方程便可得到其餘未知函式。對於外凸狀的截面，最大剪應力出現在離截面中心最近的截面邊界處。

彎曲

考慮等截面懸臂柱體，取z軸沿柱體縱軸方向，取截面上兩個主軸（見截面幾何性質）為x軸和y軸。柱體在自由端受平行於x軸的力P而彎曲。

假設柱體橫截面內的應力為零，而沿z軸方向的應力，式中 I為橫截面對y軸的慣性矩； l為柱體長度。未知的應力分量表示為：

式中稱為鐵木辛柯函式或彎曲應力函式；f（y）是由邊界條件確定的函式。求解彎曲應力函式的基本方程式為:

式中v為泊松比；C為積分常數。在力P沿x軸方向而x軸為截面對稱軸的情況下C=0；對於非對稱截面，在只有彎曲而不產生扭轉的情況下C=0。若在邊界上取，則對於單連通截面，邊界條件為s=0，s為在邊界上的值。

對於正方形截面的懸臂樑的彎曲，若取v=0.3，則所得到的剪應力分量的值比按材料力學公式所得到的近似結果約大15%。