半素理想

半素理想(semiprime ideal)是與半素環密切相關的概念。環R的理想Q，若對R的任意理想A和某個自然數n，有Aⁿ⊆Q，就恆有A⊆Q，則稱Q為R的半素理想。它等價於，對R中任意元素x，若xRx⊆Q，則x∈Q。

基本介紹

• 中文名：半素理想
• 外文名：semiprime ideal
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：環與代數(根論)
• 相關概念：理想、半素環等

定義

設是半環的理想，若對於的任意理想，由必推得，則稱為的半素理想。

相關概念及定理

命題1設P是半環S的理想，則P是半素理想的充分必要條件是對任意理想A，由必推得，其中n為某個自然數。

定義2設M是半環S的一個子集，若對任意，存在使得，稱M為S的一個n-系統。

命題3設P是半環S的理想，則P是半素的若且唯若是S的一個n-系統。

定理4設P是半環S的理想，則下列等價：

1) P是半素理想；

2) 設，若，則；

3) 必推得，其中(a)為由a生成的主理想；

4) 必推得，其中R是S的右理想；

5) 必推得，其中L是S的左理想。

定義5設P是半環S的理想，若對任意，由必推得，稱P為S的完全半素理想。

易知，若P是半環S的完全半素理想，則由必推得。

定理6設P是半環S的素理想，則P是完全素理想的充分必要條件是P是完全半素理想。

推論7設S是交換半環，則S的素理想、完全素理想與完全半素理想三個概念是一致的。

定理8設N是半環S的理想，則

1) 若P是S的素理想，則是N的素理想；

2) 若P是S的半素理想，則是N的半素理想。

證明：1) 記，則M是N的理想。設，若，則，於是，從而或，進而，或，得到或，推得或，這樣或，即M是N 的素理想。

2) 記，設，若，則，於是，，得，進而，從而，所以，即，故M是N的半素理想。

定義9若{0}是半環S的素(半素)理想，則稱S為素(半素)半環。

定理10設P是半環S的強理想，則下列等價：

1) P是素理想；

2) 是素半環；

3) 中任意兩個非零理想之積非零。

定理11設P是半環S的強理想，則下列等價：

1) P是半素理想；

2) 是半素半環；

3) 若是的非零理想，則；

4) 不含非零冪零理想；

5) 不含非零冪零單側理想，即是有效半環。

定理10、11中的都是指S關於同餘的商半環，這兩個定理的證明只要注意到的理想(單側理想)的形式是且只是形如，其中，且，就不難了。