並集公理可以得出包含公理：對任意兩集 X 與 Y，存在同時以 X，Y 為子集的集合。
基本介紹
- 中文名：包含公理
- 外文名：axiom of inclusion
- 適用範圍：數理科學
簡介,引入,定義,策梅洛-弗蘭克爾集合論,
簡介
引入
並集公理(axiom of inclusion)是集合論的一條重要公理。由策梅洛 (Zermelo,E.F.F.) 於 1908 年提出。該公理斷言：對任何集合 X，存在 X 的所有元素的並集
這條公理可以形式化為：
例如，
等。也可以定義集合的包含關係：
定義
由於
，所以，從並集公理可以得出包含公理：對任意兩集 X 與 Y，存在同時以 X，Y 為子集的集合。
策梅洛-弗蘭克爾集合論
策梅洛-弗蘭克爾集合論的公理由一階邏輯的邏輯公理和八條非邏輯公理組成。
(1)同一律（外延公理）：兩個集合相等的充分必要條件是它們具有相同的元素，即
(2)配對集公理：任給兩個集合X和Y，都有一個恰好由它們組成的集合{X,Y}，即
(3)並集公理：任給一個集合X，都有一個恰好由X的元素的元素之全體所組成的集合
，即
(4)冪集公理：任給一個集合X，都有一個恰好由它的子集合的全體組成的集合P(X)，即
(5)無限集公理：存在一個滿足如下兩條要求（a）和（b）的集合X，
（a）X含一個元素；
（b）如果Y∈X，那么Y∪{Y}∈X。其中Y∪{Y}={Y,{Y}}，即
(6)分解原理：分解公理又稱概括公理，應當注意到這裡的表達式並非樸素集合論的概括方式。設φ(x,y1,…，y𝗇)（1≤n<∞）是集合論語言的一個表達式。任給集合X和p1,…,p𝗇，集合X中的那些具有性質φ[u,y1,…，y𝗇]的元素u構成一個集合Y，即
(7)映像存在原理：映像存在原理又稱替換公理（置換公理）。它由以色列數學家弗倫克爾(Fraenikel)1922 年引入。設φ(x,y)是集合論語言的一個表達式。又設表達式φ(x,y)決定一種對應關係，也就是說，對於任意的集合u，最多存在一個集合v來滿足φ[x,y]所給出的對應要求。任給集合X，能夠與X中的某個元素u形成對應關係φ[x,y]的那些集合v組成一個集合Y，即
(8)∈極小原理：∈ 極小原理又稱正則公理，它由馮諾依曼1925 年引入。任何一個非空集合必含有一個∈極小元素，也就是說，如果X中有一個元素，那么X中一定有一個元素都不在X之中的元素a，即
上述的分解原理和映像存在原理實際上由無限多條公理組成，也就是說，給定一個表達式φ以上述原理就給出一條公理。ZF 理論的前6條公理都由德國數學家策梅洛1908 年引入。
