學派簡介,邏輯類型論,
學派簡介
邏輯主義論題分成兩個部分：1.數學概念可以通過顯定義從邏輯概念推導出來；2.數學定理可以通過純邏輯推演從邏輯公理推導出來。羅素在推導數學概念時所使用的邏輯概念有：命題聯結詞（否定，析取，合取，蘊涵）；函項和量詞（全稱量詞和存在量詞）；等詞。
弗雷格成功地用邏輯概念定義了自然數，羅素獨立於弗雷格也獲得了相同的結果。這種方法的關鍵在於，自然數不是屬於事物而是屬於概念的邏輯屬性（按羅素的定義，數是某一個類的數，而一個類的數是所有與之相似的類的類）。其他種類的數——正數、負數、分數、實數和複數，不是用通常增加自然數的定義域的方法來完成的而是通過構造一種全新的定義域來實現的。羅素在將數的概念向前推廣時，認為自然數並不構成分數的子集，自然數3與分數3/1不是等同的，同樣分數1/2同與它相聯繫的實數也不是等同的。關於正負整數，羅素認為，+1與-1是關係，並且互為逆關係。+1是n+1對n的關係，-1是n對n+1的關係。一般地，如果m是任何歸納數，對任何n而言，+m是n+m對n的關係，-m是n對n+m的關係。+m與m不同，因為m不是一個關係，而是許多類的一個類。m/n定義為,當xn=ym時，二歸納數x和y之間的一個關係。m/1是x,y在x=my情形下所具有的關係。這個關係如同關係+m一樣決不能和m等同，因為關係和一個類的類是完全不同的兩個東西。羅素說，在實用上，只要我們了解分數1/1和基數1並不相同，就不必常常拘泥於這個區別。正負分數可以用類似於正負整數的方法而定義。實數的定義比較複雜一點。羅素髮展了戴德金的實數論，作出了實數的定義。首先定義分數之間的大於或小於關係。給定兩個分數m/n和p/q,如果mq小於pn，則m/n小於 p/q。這樣定義的小於關係是序列關係，因而分數形成以大小為序的序列。戴德金證明了，有理數以明顯的方式與分數相對應，無理數對應於分數序列的“間隙”。例如，把正分數分成兩類：所有平方小於2的分數組成一類；其餘分數組成另一類。這種分法就形成分數序列的一個“分割”，它對應於無理數√2。因為不存在其平方等於2的分數，所以第一類（“下類”即較小的一類）不包含最大的元素，第二類（“上類”即較大的一類）不包含最小的元素。因此，每一個實數都對應與分數序列的一個分割，分割中的間隙對應於無理數。
這樣，羅素把實數定義為：分數序列中相應分割的下類。例如，√2是其平方小於2的那些分數的類；1/3是所有小於1/3的分數的類。由這些定義，整個實數算術都可以導出。這裡，實數的定義是“構造的”。一個複數可以簡單地看成是有先後次序的一對實數。
構造主義的方法是邏輯主義的一個重要部分。邏輯主義者用類似於定義實數的方法引進其餘的數學概念。例如，分析中的收斂、極限、連續性、微分、微商和積分等概念，集合論中的超窮基數、序數等概念。
羅素在推導數學的過程中發現，除邏輯公理外，還需要邏輯公理之外的一些特殊公理，即無窮公理和乘法公理（選擇公理）。無窮公理是說，若n是一個歸納基數，則至少有一個類有n個個體。由此得到：如果n是一個歸納基數，並且至少有一個類有n個分子，那么n不等於n+1。無窮公理保證了確有一些類有n個分子，於是我們才能斷定n不等於n+1。沒有這個公理，可能n和n+1都是空類。乘法公理是說，在對於不相交的非空集合所組成的每個集合至少存在一個選擇集合，也就是說這個集合與每一個集合恰好有一個共同元素。
在推導數學的過程當中，羅素人為地假定了一條可化歸性公理，這與邏輯類型論有關。
邏輯類型論
為了解決悖論，實現邏輯主義論題，羅素提出了邏輯類型論。羅素最早提出類型論是在1903年出版的《數學的原則》（The Principles of Mathematics）一書中，在1908年的論文《以類型論為基礎的數理邏輯》和1910～1913年與懷特海合著的《數學原理》中全面系統地論述了邏輯類型論。邏輯類型論分兩部分：簡單類型論和分支類型論。簡單類型論同分支類型論是結合在一起的，但又具有獨立性並與下面將要說到的惡性循環原則無關。
