概括公是證明論的重要公理。概括公理是分解原理的別名，無條件的概括公理曾經帶給樸素集合論困擾。
基本介紹
- 中文名：概括公理
- 外文名：axiom of comprehension
- 適用範圍：數理科學
定義,策梅洛-弗倫克爾集合論,
定義
設
是集合論語言的一個表達式。任給集合 X 和
，集合X中的那些具有性質
的元素 u 構成一個集合 Y ，即
。
策梅洛-弗倫克爾集合論
（1）同一律（外延公理）（axiom of extensionality)：兩個集合相等的充分必要條件是它們具有相同的元素，即
（2）配對集公理（axiom of pairing）：任給兩個集合X和Y，都有一個恰好由它們組成的集合
，即
（3）並集公理（axiom of union）：任給一個集合X，都有一個恰好由X的元素的元素之全體所組成的集合
，即
（5）無限集公理：存在一個滿足如下兩條要求（a）和（b）的集合X，
a、X含一個元素；
b、如果Y∈X，那么
。其中
即
（6）分解原理（asiom schema of separation)：即概括公理。
（7）映像存在原理（axiom schema of replacement）：設φ（x，y）是集合論語言的一個表達示。又設表達示φ（x，y）決定一種對應關係，也就是說，對於任意的集合 u ，最多存在一個集合v來滿足φ[u，v]所給出的對應要求。任給集合 X ，能夠與X中的某個元素 u 形成對應關係φ[u，v]的那些集合 v 組成一個集合 Y ，即
（8）∈極小原理（axiom of regularity，axiom of foundation）：任何一個非空集合必含有一個∈極小元素，也就是說，如果X中有一個元素，那么X中一定有一個元素都不在X之重的元素a，即
或者說，
注 (1) 上述的分解原理和映像存在原理實際上由無限多條公理組成，也就是說，給定一個表達式φ以上述原理就給出一條公理。
(2) 分解原理又稱概括公理應當注意到這裡的表達式並非樸素集合論的概括方式。
(3) ZF 理論的前 6 條公理都由德國數學家策梅洛（Zermelo）1908 年引入。
(4) 映像存在原理又稱替換公理（置換公理），它由以色列數學家弗倫克爾（Fraenikel）1922 年引入。
(5) ∈ 極小原理又稱正則公理，它由馮諾依曼（von Neumann）1925 年引入。
