順序公理(axiom of order)是基本的幾何公理之一，指希爾伯特-歐幾里得幾何系統公理表中的第二組公理，是建立點的位置關係的公理，包括以下四條：1.如果B點介於A和C兩點之間，那么A，B，C是一直線上的三個不同的點，並且B也介於C和A之間；2.對於任何不同的A，B兩點，在直線AB上至少有一點C，使得B介於A和C之間；3.在一直線上任何不同的三點中，至多有一點介於其餘兩點之間；4.(帕施公理)設A，B，C是不在同一直線上的三點，a是平面ABC上的一直線，它不通過A，B，C中任何一點，如果a有一點介於A和B之間，那么a必還有一點介於A和C或B和C之間。
基本介紹
- 中文名：順序公理
- 外文名：axiom of order
- 簡介：希爾伯特公理系統中的第Ⅱ組公理
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：高等幾何(幾何基礎)
- 別稱：次序公理
基本介紹,順序公理的推論,
基本介紹
順序公理(axiom of order)亦稱“次序公理”，是有關基本元素“點”、“直線”、“平面”有“…介於…之間”介於關係的公理。希爾伯特公理系統的順序公理是：
Ⅱ1．若A，B，C是直線a的三個不同點且點B介於A與C之間，那么點B也介於C與A之間。
Ⅱ2．若A和B是直線a的點，那么至少存在一點C，使B介於A與C之間(圖1)。
圖1Ⅱ3．在直線a的三點A，B，C中，一點介於其他兩點之間的情況不會多於一次。
定義 兩點A和B的全體稱為線段AB；凡介於A與B之間的點M稱為線段的內點，或單稱線段的點；點A，B稱為線段的端點，而且直線AB的其他的點稱為關於線段的外點。
定義 不在同一直線上的三點A，B，C的全體稱為三角形，線段AB，BC和CA以及其內點稱為這三角形的邊，而且點A，B，C稱為這三角形的頂點。和CA以及其內點稱為這三角形的邊，而且點A，B，C稱為這三角形的頂點。
公理Ⅱ1-3稱為線形的順序公理，因為這些是與在一直線上的點有關的緣故，與這些聯合的還有第四個，平面的順序公理，通稱“巴斯公理”或“帕須公理”，這是按最初明白地把它公式化的幾何學家的名字的，是德國數學家巴斯(M.Path，1843-1930)提出，是證明線段存在內點的主要工具。
Ⅱ4(帕須的公理) 設A，B，C是不在一直線上的三點，且a是在平面ABC上而不含有點A，B，C的任何一個。若這時候直線通過線段AB的點，那么它也必通過線段AC的點或通過線段BC的點(圖2)。
圖2順序公理的推論
關於直線上的點的順序的定理，現在轉到關於點的順序的基本定理——順序公理的推論（更多內容及定理的證明請參考相關書籍）。
定理 若A和C是直線a的兩點，那么在這直線上存在點B，介於A與C之間。
定理 在一直線上的三點A，B，C之中，僅有一個是介於其他兩個之間的。
定理 若有四點在一直線a的上面，那么常常可以用字母A,B,C,D來記這些，使點B介於A和C之間且介於A和D之間，而點C則介於A和D之間且介於B和D之間，用記號改寫這事實如下：同時存在這4個關係
定理 從直線的四個不同點A，B，C，D僅有兩個(例如B、C)是介於其他兩個(A，D)之間的：在這四個成組裡，關於“介於”沒有一點能夠在三次之多的。
定理 一直線的n個不同的點常可附上號碼1，2，3，…，n使當i<j<k(或i>j>k)時，第j個點要介於第i個和第k個之間。
定理 在各直線a和各線段AD上存在點的無數集。
定理 直線a的各點O劃分其所有點為具有下面性質的兩區域
:
直線a的各點(除了點O)必屬於這些區域之一；若點O介於和他不同的任何兩點A1和A2之間，則A1和A2屬於不同的區域，並且若點O不介於A1和A2之間，則A1和A2屬於同一的區域。
定義4 凡使
或
成立的所有點M的集並此外包括點S本身在內，稱為以O為頂點且由其一點S所決定的射線OS。
定理 平面
上的直線a把它的上面的點(除了直線a本身所銜接的點而外)分開為具有下面性質的兩區域
：凡取在不同區域上的兩端點A1和A2的任何線段A1A2與直線a常常有共同點B；反之，凡兩端點僅屬於這些區域中之一的所有線段
與直線a沒有共同點(圖3)。
圖3定義 在通過點S和直線a的平面
上，使線段SA1和直線a沒有共同點的這種點A1的集合稱為以直線a和定點S做邊緣的半平面。
定理 平面的各對相交直線a和b劃分它的所有點M為具有下面性質的四個區域：凡兩端點A和B屬於不同區域的任何線段AB和兩直線a，b中的至少一條常有共同點，而兩端點屬於同一區域的線段AA’和直線a，b都沒有共同點。
