幾何公理系統:歐幾里得的《幾何原本》中的缺點,歐幾里得-希爾伯特幾何公理系統的結構

幾何公理系統

幾何公理系統(geometric axiom system)一般指歐幾里得-希爾伯特幾何公理系統。歐幾里得的《幾何原本》是兩千多年間被公認為用嚴格的邏輯結構來敘述的科學典範，但用現代數學的嚴謹要求來看《幾何原本》的敘述，顯然還有許多不嚴格的地方，有它邏輯結構上的不足之處，直到19世紀，才由希爾伯特(Hilbert)最終彌補這些不足之處，進而提供了一個完善的Euclid幾何公理系統，這一切都寫在他的巨著《幾何基礎》一書中，並由此而解決了用公理方法研究幾何學的基礎問題。希爾伯特關於歐幾里得幾何公理系統的陳述，總體歸納為基本概念和公理兩部分。基本概念包括三個基本元素和三個基本關係；公理部分共分為5組，第一組是8條結合公理，第二組有4條順序公理，第三組是5條契約公理，第四組是2條連續公理，第五組是1條平行公理，這是《幾何原本》中的第五公設的等價命題之一。

基本介紹

中文名：幾何公理系統
外文名：geometric axiom system
所屬學科：數學
所屬問題：數學基礎(幾何基礎)
相關人物：歐幾里得，希爾伯特
相關著作：Hilbert的《幾何基礎》

歐幾里得的《幾何原本》中的缺點,歐幾里得-希爾伯特幾何公理系統的結構,幾何公理系統的解釋,絕對幾何公理系統,幾何公理系統的完備性,幾何公理系統模型的同構,幾何公理系統的相容性,

歐幾里得的《幾何原本》中的缺點

從歷史的角度看，歐幾里得的《幾何原本》是兩千多年間被公認為用嚴格的邏輯結構來敘述的科學典範，但用現代數學的嚴謹要求來看《幾何原本》的敘述，顯然還有許多不嚴格的地方。歸納起來，《幾何原本》的缺點可以概括為如下幾點：第一，有些定義的寫法運用了一些它本身就應該定義的概念；第二，有些定義是多餘的；第三，在有些定理的證明過程中，依靠了圖形的直觀，而這種直觀自明性又沒有列進公理中。

實際上，《幾何原本》的這些不足之處，也早就被古代學者所覺察。舉個例子，古希臘另一位大數學家阿基米德(Archimedes)仔細研究了歐幾里得幾何公理系統之後，認為要嚴格陳述關於長度、面積和體積的測量理論，就必須擴充歐幾里得的幾何公理系統，如下的一條公理就必須加到歐幾里得幾何公理系統中去，該公理被後人稱為阿基米德公理。

阿基米德公理：任給兩個數a>0和b>0，並且ab。

可以用幾何圖像來陳述如上之阿基米德公理：設AB和CD是任意兩個線段，則在直線AB上存在著有限多個點A₁，A₂，A₃，…，A_n-1，A_n，使得A₁在A和A₂之間，A₂在A₁和A₃之間等等。並且線段AA₁，A₁A₂，…，A_n-1A_n都等同於線段CD，而且B在A和A_n之間，如圖1所示：

圖1

實際上。阿基米德以後的很長歷史發展中，人們一直都在努力彌補歐幾里得幾何公理系統中的缺陷，想方設法完善《幾何原本》的陳述。然而一直拖到十九世紀，人們才建立起一個完整的歐幾里得幾何公理系統。在這個系統中，能夠不依靠任何空間直觀經驗，推出歐幾里得幾何系統中的所有定理，完成這一艱巨任務的人是德國大數學家希爾伯特(Hilbert)，他為此而出版專著《幾何基礎》。希爾伯特在這本專著中把幾何系統公理化方法推向了完善化階段，該書被譽為劃時代的巨著。

歐幾里得-希爾伯特幾何公理系統的結構

前面指出：歐幾里得(Euclid)《幾何原本》的陳述，有它邏輯結構上的不足之處，直到19世紀，才由希爾伯特(Hilbert)最終彌補這些不足之處，進而提供了一個完善的Euclid幾何公理系統，這一切都寫在他的巨著《幾何基礎》一書中，並由此而解決了用公理方法研究幾何學的基礎問題。

希爾伯特關於歐幾里得幾何公理系統的陳述，總體歸納為基本概念和公理兩部分。基本概念包括三個基本元素和三個基本關係；公理部分共分為5組，第一組是8條結合公理，第二組有4條順序公理，第三組是5條契約公理，第四組是2條連續公理，第五組是1條平行公理，這是《幾何原本》中的第五公設的等價命題之一。下面我們將希爾伯特陳述歐幾里得幾何公理系統的結構列表如下：

圖2 幾何公理系統的結構

這是Hilbert的經典敘述，而後來，人們已習慣於將連續公理列為第Ⅳ組，平行公理列為第Ⅴ組。另外，又將連續公理中的“完備公理”改為“Cantor公理”，當然，可以證明經過改動後的公理系統與原來的公理系統是等價的，所以這種改動是形式的或非實質的，即在本質上沒有對Hilbert所給的Euclid幾何公理系統作任何改動。

幾何公理系統的解釋

幾何公理系統的解釋(interpretation of geometric axiomatic systems)亦稱幾何公理系統的實現或模型，是幾何公理化方法的重要課題。給定一個公理系統∑，為了驗證該公理系統的協調性(無矛盾性)，人們往往取現實中存在的一組具體事物M，規定公理系統∑中的每個基本概念對應M中的某一事物，並且驗證了：在此規定之下，∑中的每個公理都成立，則M就稱為∑的一個解釋，或一個實現(模型)，利用這種方法還可以驗證公理系統的獨立性和完備性。幾何公理系統的解釋是19世紀中葉隨著羅氏幾何的產生而發展起來的，貝爾特拉米(E.Beltrami)利用他的微分幾何模型，龐加萊(((J.-)H.Poincaré)利用他的複數平面模型，克萊因((C.)F.Klein)利用他的射影幾何模型等，各自成功地解釋了羅氏幾何，模型法已成為研究公理系統的重要方法，特別是當涉及原始概念的對象有無限多時就更是這樣。因此，在數學中行之有效的方法是用一種熟知的公理系統A作為新公理系統B的解釋，當B為A的子公理系統時，這樣做是顯然的，如果A協調，顯然B也協調；倘若A的協調性尚未確立，則稱B具有相對於A的協調性。

絕對幾何公理系統

絕對幾何公理系統(absolute geometric axiom system)是一種重要的幾何公理系統，指在希爾伯特-歐幾里得幾何系統公理表中去掉平行公理後，所構成的幾何公理系統。因此，絕對幾何公理系統是由三個基本元素(點、直線、平面)、三個基本關係(結合、順序、契約)和四組公理(共19條)構成。這四組公理包括：第一組8條結合公理(參見“結合公理”)，第二組4條順序公理(參見“順序公理”)，第三組5條契約公理(參見“契約公理”)，第四組2條連續公理(參見“連續公理”)。

幾何公理系統的完備性

幾何公理系統的完備性(the completeness of geometric axiom system)是幾何公理系統的重要性質，完備性是人們對任何一個公理系統的基本要求之一，而一個幾何公理系統的任何兩個模型都是同構的(參見下文“幾何公理系統模型的同構”)，那么它就滿足了完備性要求或稱該幾何公理系統具有完備性。

先舉一例說明一個幾何公理系統的兩個不同的模型可以是同構的。首先，人們不難在等距面上構造羅巴切夫斯基平面幾何公理系統Σ的模型；設σ為羅氏空間中任給一個等距面，而u為σ的底，選定σ上的點和等距線作為客觀對象，不難驗證所選客觀對象之間的關係能滿足Σ系統中每一條公理的要求，從而就在σ上構造了一個羅巴切夫斯基平面幾何公理系統的模型，現在選取任意兩個具有公共底平面u的等距面σ₁和σ₂，然後在σ₁和σ₂上分別構造羅巴切夫斯基平面幾何公理系統Σ的兩個模型M₁和M₂，現規定，如果σ₁和σ₂上的點位於同一條垂直於底平面u的直線上，則算是互相對應的，如果σ₁和σ₂上等距線位於同一個垂直於u的平面上，則說這兩條等距線是互相對應的，則在此對應原則下，Σ的兩個不同模型M₁與M₂是同構的。

幾何公理系統模型的同構

幾何公理系統模型的同構(isomorphism of geometric axiom system model)指對同一幾何系統不同模型之間的某種關係的描述，設AX表示由若干個公理所組成的一個公理系統，而AX在兩個不同的對象系統Σ和Σ上分別構造了兩個模型M_A和M_B(參見“公理系統的模型”)，如果M_A和M_B的對象之間能夠建立這樣的一一對應，使得對應元素之間有完全相同的相互關係，則稱模型M_A和M_B是同構的。若以幾何公理系統之模型對同構概念解釋時，就是當某一個幾何公理系統之兩個不同模型的同名基本對象(如點、直線、平面)之間所構成的一一對應，能夠使得在一個模型中由某些基本關係(如連結、在中間、契約等)聯繫起來的任何一些對象，在另一個模型中必有由相同的關係聯繫起來的一些對象與之對應。

但應注意，並非同一幾何系統的任何兩個模型都同構。

幾何公理系統的相容性

歐幾里得幾何公理系統的相容性(the consistency of Euclidean geometric system)是歐幾里得幾何公理系統的重要性質。它是關於歐幾里得幾何公理系統是否相容的討論與探索，雖說普遍認為歐幾里得幾何公理系統的相容性是比較信得過的，並對龐加萊模型(即在歐氏幾何系統中構造的羅氏幾何公理系統的模型)表示出很大興趣，因為它表征了羅巴切夫斯基幾何公理系統的無矛盾性可由歐幾里得幾何系統的相容性來保證，但也正由此而引起了人們對歐氏幾何公理系統之相容性產生懷疑，因為竟然能由之而保證一個包含著相悖於常識之羅氏公設的系統具有相容性，從而促使人們考慮不依靠直覺而在道理上弄明白歐幾里得幾何公理系統為什麼相容，對此，人們受到法國數學家笛卡兒(R.Descartes，)所創立之解析幾何的啟發，在實數系統中構造了一個歐幾里得幾何公理系統的模型(參見“笛卡兒模型”)，因此，只要假定實數系統R無矛盾，歐幾里得幾何公理系統就一定相容，所以龐加萊模型與笛卡兒模型的構造成功表明：只要實數系統R相容，則歐氏幾何公理系統與羅氏幾何公理系統均為無矛盾系統。