幾何公理

幾何公理(axioms of geometry)幾何學術語,指幾何學中不加證明而取作證明根據的命題。

基本介紹

  • 中文名:幾何公理
  • 領域:數學
定義,希爾伯特幾何簡介,五組公理,

定義

首先較系統地採用公理的是歐幾里得(Euclid). 1899年,希爾伯特(Hilbert , D.)發表了《幾何基礎》一書,提出了一套嚴格的幾何公理體系—希爾伯特公理體系。它包括八個基本概念和五組公理,分別是結合公理,順序公理,契約公理,平行公理和連續公理。現今說的歐氏幾何公理通常就指這五組公理。除此以外,還有羅氏幾何的公理,射影幾何的公理,仿射幾何的公理等.不同的公理產生不同的幾何學,都稱為“公理法幾何”。

希爾伯特幾何簡介

在希爾伯特幾何裡面,其實點直線和平面是三個未定義的數學對象,在上面給的最基本的關係也是沒有定義的,也就是說用什麼來代表這些東西都是可以的,正如希爾伯特所說“我們必定可以用‘桌子、椅子、啤酒杯’來代替‘點、線、面’”。最簡單的例子就是解析幾何:我們定義點是實數對(x,y),定義線是,其實在這個定義下,“幾何”已經失去了“直觀”的形式了,因為在這個定義下的幾何圖形就變成了毫無幾何直觀的數字了,只是我們方便研究又將它畫在了坐標系中而已。
總之,希爾伯特幾何,就是將直觀地幾何語言(歐氏幾何)抽象成了邏輯語言,我們所有的幾何定理都可以用邏輯推理得到。

五組公理

公理I:關聯公理
公理II:順序公理
公理III:契約公理
公理IV平行公理
公理V連續公理

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