分數階微積分

分數階微積分這一重要的數學分支，其誕生在1695年，幾乎和經典微積分同時出現。那一年，德國數學家Leibniz 和法國數學家L'Hopital 通信，探討當導數的階變為1/2時，其意義是什麼？當時Leibniz也不知道定義與意義，只是回復道：“”這會導致悖論，終有一天將會是一個很有用的結果”。分數階微積分狹義上主要包括分數階微分與分數階積分，廣義上同時包括分數階差分與分數階和商。由於近一些年分數階微積分的理論成功套用到各大領域中，人們逐漸發現分數階微積分能夠刻畫自然科學以及工程套用領域一些非經典現象。分數階微積分比較熱門領域包括：分數階數值算法，分數階同步等問題。

基本介紹

• 中文名：分數階微積分
• 學科：數理科學
• 領域：數學分支
• 發現年份：1695年
• 分類：分數階微分與分數階積分

分數階微積分定義

在這個上下文中，冪指數反覆使用，和

中的平方意義相同。例如，可以提出如何解釋如下符號的問題

作為微分運算元的平方根（半次操作），也就是一種運算元操作兩次以後可以有微分的效果。

更一般的，

對於實數值的n，使得當n為整數時，若n>0,它等同於通常的冪n次操作，當n<0,它等同於n次積分J。

討論這個問題有幾個原因。一個是，這樣冪D組成的半群可以看作一個連續的半群中取離散值的部分。連續半群在數學上有很好的研究，有一個有趣的理論。注意，分數是個錯誤的記號，因為指數可以取非有理數，但是分數微積分已成為習慣用法。

試探法

一個很自然的想法是問，是否存在一個運算元起到半導數的作用，即使得：

結論是：這樣的運算元是存在的，對於任意,存在一個運算元,滿足：

或者換一個說法, 的定義可以從正整數n擴充到所有的實數n.

在這裡我們引入Γ函式將階乘擴展到實數和複數域上.Γ函式的定義如下：

假設對函式在0到x上求積分，我們可以形式的定義積分運算元J:

重複這個過程，可得：

這個過程可以任意的重複下去。

利用重複積分的柯西公式，即：

我們可以直截了當的寫出任意實數n的積分運算元。

直接利用函式將離散的階乘擴展為連續的函式。我們可以自然的得到分數積分運算元的表達形式

這個運算元定義明確而且具有良好的性質。

可以證明J運算元滿足如下關係

這個性質叫微分積分算符的半群性。然而用類似方法定義微分運算元將變得相當困難，而且定義出來的微分運算元D一般來說不對易也不具有疊加性。

分數微分在一個簡單函式上的套用

這個動畫展示了不同分數微分運算元如何操作在y=x（藍色），結果（綠色）在一般的積分（，紫色）及一般的一次微分（，紅色）間連續變化。

假設有一個函式

。它的一階導數一般是：

。重複這一過程，得到更一般的結果：

，將階乘用伽瑪函式替換，可得：

。當k = 1,並且a = 1/2時我們可以得到函式的半導數：

。重複這一過程，得：

，這正是期望的結果：

。

以上微分運算元的擴展不僅僅局限於實數次。舉個例子，階導數作用後，階導數再作用，可以得到二階導數。同時如果a為負則可為求積分。

分數微分可以得到上述相同的結果（當）。

對於任意的,由於伽瑪函式的參數在實數部為負整數時沒有定義，需要在分數微分前先進行整數微分。例如

套用

WKB近似

對於一個一維的量子系統進行準經典的近似時，系統哈密頓量中的倒數可由對態密度的半階微分求出

這裡採用了自然單位制，即。