分塊矩陣

分塊矩陣是高等代數中的一個重要內容，是處理階數較高的矩陣時常採用的技巧，也是數學在多領域的研究工具。對矩陣進行適當分塊，可使高階矩陣的運算可以轉化為低階矩陣的運算，同時也使原矩陣的結構顯得簡單而清晰，從而能夠大大簡化運算步驟，或給矩陣的理論推導帶來方便。有不少數學問題利用分塊矩陣來處理或證明，將顯得簡潔、明快。

分塊矩陣是一個矩陣， 它是把矩陣分別按照橫豎分割成一些小的子矩陣 。 然後把每個小矩陣看成一個元素。

基本介紹

• 中文名：分塊矩陣
• 外文名：partitioned matrix
• 類別：矩陣
• 學科：高等數學
• 特殊：分塊對角矩陣，分塊上三角矩陣
• 相關：求解線性方程組

定義

將一個矩陣用若干條橫線和豎線分成許多個小矩陣，將每個小矩陣稱為這個矩陣的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣。

例如，

其中E₁，E₃分別表示1階、3階單位矩陣，O表示1×3的零矩陣，而 。

同一個矩陣可以有多種不同的分塊方法，從而形成不同的分塊矩陣。例如上例的矩陣也可分成也可分成

其中E₂表示2階單位矩陣，O表示2階零矩陣，而 。

運算規則

加法

設 ， ，用同樣的方法對A，B進行分塊，即 ， 為同型矩陣，則 。

數乘

設 ，k是任意數，定義分塊矩陣 與k的數乘為 。

乘法

設A是 階矩陣，B是 階矩陣，即A的列數=B的行數，分塊 ， ，即A的列分塊法=B的行分塊法。

則A與B的乘積 是 階分塊矩陣，

其中， 。

轉置

設矩陣 是 階分塊矩陣， ，則 。

特殊分塊矩陣

分塊對角矩陣

設A為n階方陣，若A的分塊矩陣在非主對角線上的子塊皆為零矩陣，且在主對角線上的子塊都是方陣，即

其中O表示零矩陣， 都是方陣，那么稱A為分塊對角矩陣。

性質：

① ；

②若 ，則A可逆，且 ；

③同結構的準對角矩陣的和、差、積、數乘及逆仍是準對角矩陣，且運算表現為對應子塊的運算。

分塊上下三角矩陣

對方陣進行分塊後，主對角線上的子塊矩陣都是方陣，主對角線以下（以上）的子塊矩陣都是零矩陣，即

或

稱為分塊上（下）三角形矩陣。

性質：

①同結構的分塊上（下）三角形矩陣的和（差）、積（若乘法運算能進行）仍是同結構的分塊矩陣。

② 數乘分塊上（下）三角形矩陣也是分塊上（下）三角形矩陣。

③ 分塊上（下）三角形矩陣可逆的充分必要條件是的主對角線子塊都可逆；若可逆，則的逆陣也是分塊上（下）三角形矩陣。

④ 分塊上（下）三角形矩陣對應的行列式： 。