函式的凹凸性是描述函式圖像彎曲方向的一個重要性質，其套用也是多方面的。
基本介紹
- 中文名：函式的凹凸性
- 外文名：Concavity
- 詞性：名詞
- 性質：凹凸性
介紹,幾何定義,不同說法,不等式,
介紹
設函式f(x)在區間I上定義，若對I中的任意兩點x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有
f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2),
則稱f為I上的凹函式.
若不等號嚴格成立，即“>”號成立，則稱f(x)在I上是嚴格凹函式。
凹凸性
凹凸性如果">=“換成“<=”就是凸函式。類似也有嚴格凸函式。
設f(x)在區間D上連續，如果對D上任意兩點a、b恆有
f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2
那么稱f(x)在D上的圖形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恆有
f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2
那么稱f(x)在D上的圖形是（向上）凸的（或凸弧）
幾何定義
這個定義從幾何上看就是：
在函式f(x)的圖象上取任意兩點，如果函式圖象在這兩點之間的部分總在連線這兩點的線段的下方，那么這個函式就是凹函式。同理可知，如果函式圖像在這兩點之間的部分總在連線這兩點線段的上方，那么這個函式就是凸函式。
直觀上看，凸函式就是圖象向上突出來的。比如
凹函式就是圖像向下凹進去的，比如常見的
。
如果函式f(x)在區間I上二階可導，則f(x)在區間I上是凸函式的充要條件是f''(x)<=0;f(x)在區間I上是凹函式的充要條件是f''(x)>=0;
不同說法
不過補充一下，中國數學界關於函式凹凸性定義和國外很多定義是反的。國內教材中的凹凸，是指曲線，而不是指函式，圖像的凹凸與直觀感受一致，卻與函式的凹凸性相反。只要記住“函式的凹凸性與曲線的凹凸性相反”就不會把概念搞亂了。
另外，國內各不同學科教材、輔導書的關於凹凸的說法也是相反的。一般來說，可按如下方法準確說明：
1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即V型，為“凸向原點”，或“下凸”（也可說上凹），（有的簡稱凸有的簡稱凹）
2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ， 即A型，為“凹向原點”，或“上凸”（下凹），（同樣有的簡稱凹有的簡稱凸）
凸/凹向原點這種說法一目了然。上下凸的說法也沒有歧義
在二維環境下，就是通常所說的平面直角坐標系中，可以通過畫圖直觀地看出一條二維曲線是凸還是凹，當然它也對應一個解析表示形式,就是那個不等式。但是，在多維情況下，圖形是畫不出來的，這就沒法從直觀上理解“凹”和“凸“的含義了，只能通過表達式，當然n維的表達式比二維的肯定要複雜，但是，不管是從圖形上直觀理解還是從表達式上理解，都是描述的同一個客觀事實。而且，按照函式圖形來定義的凹凸和按照函式來定義的凹凸正好相反。
不等式
加權形式為：f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……
