平行向量

平行向量，也叫共線向量。是指方向相同或相反的非零向量。零向量與任意向量平行。

基本介紹

• 中文名：平行向量
• 外文名：Parallel vector
• 別稱：共線向量
• 學科：數學
• 隸屬：向量
• 運算：加法、減法等

基本內容

向量：既有大小又有方向的量叫向量。

零向量：長度為0的向量，記作 。

單位向量：長度為1個單位長度的向量。

平行向量：也叫共線向量，方向相同或相反的非零向量。

相等向量：長度相等且方向相同的向量。

相反向量：長度相等且方向相反的向量。

線性運算

加法運算

對於零向量和任意向量，有： 。向量的加法滿足所有的加法運算定律。

三角形法則：已知從點A出發的向量與從點B出發的向量相加，則以A為起點的向量即為它們之和。

平行四邊形法則：已知兩個從同一點O出發的兩個向量、，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線向量就是向量、的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

減法運算

與長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，，零向量的相反向量仍然是零向量。

（1）；（2）。

以減向量的終點為起點，被減向量的終點為終點(三角形法則)。

數乘運算

實數λ與向量的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作，。當λ > 0時，的方向和的方向相同，當λ < 0時，的方向和的方向相反，當λ = 0時， = 0，方向任意。

設λ、μ是實數，那么：（1）；(2）；

（3）；（4）。

兩個非零向量的數量積：。數量積滿足交換律、分配律，不滿足結合律。

充要條件

向量平行(共線)充要條件的兩種形式：

（1） ；

（2） 。

比較

共線向量與平行向量關係

由於任何一組平行向量都可移到同一直線上，故平行向量也叫做共線向量。

平行向量與相等向量的關係

相等的向量一定平行，但是平行的向量並不一定相等。兩個向量相等並不一定這兩個向量一定要重合。只用這兩個向量長度相等且方向相同即可。其中“方向相同”就包含著向量平行的含義。

例題

例1.下列命題正確的是（ ）

A.與共線，與共線，則與也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四頂點

C.向量與不共線，則與都是非零向量

D.有相同起點的兩個非零向量不平行

解析：由於零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由於數學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點是否相同無關，所以D不正確；對於C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若與不都是非零向量，即與至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有與共線，不符合已知條件，所以有與都是非零向量，所以應選C。