作圖不定問題

作圖不定問題(indeterminate problem of construction)是一種作圖問題，可得無數解答的作圖問題稱為作圖不定問題。例如，已知三角形的底與高作三角形，則可作出無數三角形，故此問題可稱為作圖不定問題。

基本介紹

• 中文名：作圖不定問題
• 外文名：indeterminate problem of construction
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：平面幾何（尺規作圖）

基本介紹

在幾何作圖題中，作圖題的結果有無與確定與否，與給定的條件有關，同時與所採用的解法及限定的作圖工具也有很大的關係。作圖題的已知條件需滿足:彼此相容不矛盾；條件要恰當不多不少。若不滿足以上條件或已知條件較特殊等，將會出現作圖的不定問題，不合理問題和不成立問題。在作圖題中因受工具和公法的限制，而使有些問題不能獲得解決，這樣的作圖題叫做作圖不能問題。

在作圖題中，由於條件不足，造成適合條件的解多得無窮，這種問題叫“幾何作圖不定問題”。作圖不定問題是指可得無數解答的作圖問題。

舉例分析

在幾何作圖題中，條件少了會出現兩種情況：一是條件太少了，少得使所討論的問題無什麼價值。例如，已知一邊，求作三角形。可以這樣下手解決：除去過這邊的直線外，在平面上任意找一點，與這個已知邊的兩個端點連線起來， 構成三角形，問題就這樣被解決了。可是，這個過程到底給了我們多少啟發呢?

但是，另外一種情況卻很值得我們重視。先看一個例子：已知線段 ，高h，試求一點C，使△ABC的面積等於 ，因為平行線間的距離處處相等，我們作兩條直線m、m'，它們都與AB平行， 而且與AB的距離都等於h。這時，在m (或m') 上任意找一點P與A、 B相連，所構成的三角形都符合條件(圖1)。

圖1

題目僅僅要求作出一點，找到的卻是無窮多個點，它們分別位於m、m'兩條直線上。因此，問題的解是確定不下來的。可是另一方面，這裡卻求出了符合條件的點的軌跡。構想再增加一個條件：“使得所求的點在AB的垂直平分線上”，這時，問題的解就進一步被確定在直線與直線的交點上。圖1中的C、C'都符合條件。正是這種點的軌跡的特殊意義，今後用到作圖中去，作用不小。

作圖題的條件

幾何作圖題就是給出某些條件，用直尺和圓規，作出所需要的圖形。

作圖首先必須使條件符合下述兩點要求:

(1) 條件之間不能矛盾。否則，作起圖來，滿足了這一條，牴觸另一條，始終無法作出一個滿足所有條件的圖形來。例如：以定長為邊，求作一個四邊不相等的正方形，我們知道，“四邊相等”就是正方形的一個條件，現在，要求作出來的四邊形既是正方形又要四邊不相等，到哪裡去找呢?把這類條件矛盾的問題叫做“幾何作圖不合理問題”。

(2) 條件要不多不少。不要認為條件越多越好，(1)中所說的條件矛盾的例子，不就是因為多了一個“四邊不相等”的條件所造成的嗎?此外，還有一種情況，表現在表面上看起來是不同的兩個條件，但實際上是可以互相推導出來的，這種情況我們叫它為“條件互不獨立”。例如：求作一個對角線互相平分的平行四邊形。我們知道，“對邊平行”的四邊形是平行四邊形，所以不能忘記，“對邊平行”在這裡是對所求作的四邊形的一個指定符合的條件。而這個條件與“對角線互相平分”是可以互相推得的，取消其中任何一個都不影響整個問題，就是說，有一個條件多餘了。

條件少了也會出現兩種情況就是我們上面分析的那樣。

是不是條件符合了上述兩點要求，圖形就一定作得出來呢?這個結論下不得，請看下面的兩個例子：

1)已知三邊，求作三角形。這個問題的條件，不能說它違背了上述兩點要求，但是，若給出的三邊的長度不恰當，如有一邊大於或等於其它兩邊之和，你能作成這種三角形嗎?這種情況只好移到圖形變化範圍的討論中去了。

2)已知線段a，求作線段x，使得滿足關係式：

x=2a(或x=a).

這個問題，也找不出半點毛病，作得出嗎?

因此，必須慎重指出：上述兩點要求是對條件提出的必要性要求，不是圖形可以作出來的充分條件。