2倍立方體問題

倍立方體問題（problem of duplication of a cube ）是二千四百年前古希臘人提出的幾何三大作圖問題之一 。假設已知立方體的棱長是1個單位，那么這個立方體的體積便是1的3次方等於1。根據需求，要求作的立方體的體積是原立方體的兩倍，即1×2=2，...

基本介紹

• 中文名：2倍立方體問題
• 外文名：problem of duplication of a cube 
• 國家：希臘
• 時間：二千四百年前

簡介

2倍立方體問題（problem of duplication of a cube ）是二千四百年前古希臘人提出的幾何三大作圖問題之一 。問題是指求作一立方體使其體積等於已知立方體體積的兩倍。本題難解的原因在於作圖工具上有所限制，古希臘人強調幾何作圖只能用直尺（沒有刻度，只能作直線的尺）和圓規。

起源

關於倍立方問題的起源，有兩個神話傳說。第一個是屬於古希臘著名數學家、天文學家、哲學家埃拉托塞尼（前276－前195）的。傳說由於古希臘提洛島（Delos ，愛琴海上小島）上瘟疫流行，人們向太陽神第力亞祈禱 ，據說神要求把它殿前的祭壇的體積擴大一倍，而保持祭台的立方體形狀不變。因此，後人往往稱倍立方體問題為提洛問題。

由來

傳說在公元前4世紀，古希臘的雅典流行一種病疫，為了消除災難，雅典人向日神求助。日神說：“如果要使病疫不流行，除非把我殿前的立方體香案的體積擴大一倍。”這個條件使雅典人很高興，他們認為這是容易做到的，於是把舊香案的各棱放大一倍，做了一個新的立方體香案。然而疫勢反而更加猖獗。當雅典人再去祈禱日神時，他們才知道新香案的體積並不是舊香案的兩倍。這就難住了當時的人們，連最有名的學者柏拉圖也感到無能為力。

這就是幾何作圖中著名的2倍立方體問題。用數學語言來表達，就是：“已知一立方體，求作另一方體，使它的體積等於已知立方體的兩倍。”這一問題與三等分角問題、化圓為方問題，構成了初等幾何作圖中的三大作圖不能問題。

2倍立方體問題之所以不能解決，是因為作圖時只能使用圓規和無刻度的直尺。這是古希臘人對作圖的要求。歐幾里德還在他的《幾何原本》中，明文提出幾何作圖的規定：在作圖時只能用直尺和圓規，這種直尺是沒有刻度的，只能用來“過兩點作直線或延長線段”。圓規只能作圓或畫弧。而且任何作圖題中只能有限次地使用直尺和圓規，這一規定一直延續至今，利用直尺、圓規可以作三種基本圖形：畫線、作圓、求交點。凡是能由這三種基本技術經過有限次複合而成的圖形才算是用直尺和圓規作圖，否則就是作圖不能問題。倍立方體問題就是如此，假設已知立方體的棱長是1個單位，那么這個立方體的體積便是1的3次方等於1。根據需求，要求作的立方體的體積是原立方體的兩倍，即1×2=2，所以求作的立方體的棱長為2的立方根這一個無理數，通過有限次畫線、作圓、求交點是無法作出長為2的3次根的線段的，所以倍立方體問題是不可能用直尺和圓規來解決的。

解法

2倍立方體的第一個進展，無疑是希波克拉底對此問題的簡化：作兩給定線段s和2s的兩個比例中項。如果我們令x和y表示這兩個比例中項，則s∶x=x∶y=y∶2s在這幾個比例式中：x^2=sy,y^2=2sx，消去y得:x^3=2s^3，於是以x為邊的立方體的體積就等於以s為邊的立方體體積的二倍。

在希波克拉底作出簡化後，倍立方體問題就成為兩給定線段的兩個比例中項了。這樣，陸續出來一些高等幾何的解法。用帶刻度的尺也能解決了。