不動點算法，又稱固定點算法。
基本介紹
- 中文名：不動點算法
- 別名：固定點算法
所謂不動點，是指將一個給定的區域A，經某種變換f(x)，映射到A時，使得x=f(x)成立的那種點。最早出現的不動點理論是布勞威爾定理(1912)：設A為Rn中的一緊緻凸集，f為將A映射到A的一連續函式，則在A中至少存在一點x，使得x=f（x）。其後，角谷靜夫於1941年將此定理推廣到點到集映射上去。設對每一x∈A，f(x)為A的一子集。若f(x)具有性質：對A上的任一收斂序列xi→x0，若yi∈f(xi)且yi→y0，則有y0∈f(x0)，如此的f(x)稱為在A上半連續，角谷靜夫定理：設A為Rn中的一緊緻凸集，對於任何x∈A，若f(x)為A的一非空凸集，且f(x)在A上為上半連續，則必存在x∈A，使x∈f(x)。J.P.紹德爾和J.勒雷又將布勞威爾定理推廣到巴拿赫空間。不動點定理在代數方程、微分方程、積分方程、數理經濟學等學科中皆有廣泛的套用。例如，關於代數方程的基本定理，要證明f(x)=0必有一根，只須證明在適當大的圓│x│≤R內函式f(x)+x有一不動點即可；在運籌學中，不動點定理的用途至少有二：一為對策論中用來證明非合作對策的平衡點的存在和求出平衡點；一為數學規劃中用來尋求數學規劃的最優解。對於一個給定的凸規劃問題：min{f(x)│gi(x)≤0，i=1，2，…，m}，在此，f和g1，g2，…，gm皆為Rn中的凸函式。通過適當定義一個函式φ，可以證明：若上述問題的可行區域非空，則φ的不動點即為該問題的解。在1964年以前，所有不動點定理的證明都是存在性的證明，即只證明有此種點存在。1964年，C.E.萊姆基和J.T.Jr.豪森對雙矩陣對策的平衡點提出了一個構造性證明。1967年，H.斯卡夫將此證法套用到數學規劃中去。其後，不動點定理的構造性證明有了大的發展和改進。H.斯卡夫的證明是基於一種所謂本原集，後來的各種發展皆基於某種意義下的三角剖分。現以n維單純形Sn為例來說明這一概念，在此，。對每一i，將區間0≤xi≤1依次分為m1，m2…等分，m1＜m2
