上穿不等式

上穿不等式(upcrossing inequality)是鞅論的 一個重要不等式。鞅（martingale）這一概念是借用了法文“倍賭策略”即賭輸後加倍賭注的含義，最早是J.Ville早在1939年首次引進機率論的。法國機率學家Levy最早研究了鞅序列，隨著K.Ito對Brown運動的隨機積分理論的發展，30年代末至50年代初，Levy和美國機率學家Doob就創立了靴論，且由Doob將其發揚光大。

基本介紹

• 中文名：上穿不等式
• 外文名：upcrossing inequality
• 領域：鞅論
• 鞅的由來：倍賭策略
• 引進時間：1939年
• 引進者：J.Ville

不等式表述

上穿不等式(upcrossing inequality)是鞅論的一個重要不等式。設{X(n)，n≥0}是離散下鞅。對於任意區間[a，b]，令表示序列{X(0)，X(1)，…，X(M)}上穿區間[a，b](即序列的元素取值從≤a到≥b)的次數，則對任意正整數M有：

對於連續時間參數情形，設{X(t)，t∈R₊}是下鞅，D是R₊的任一可數子集，則對任意滿足r<s的r，s∈R₊和任意實數λ>0有：

這裡(任意J⊂R₊)定義為當H取遍J的所有有限子集時的上確界：

當下鞅{X(t)，t∈R₊}右連續時，上式可進一步寫為：

鞅論

鞅論是由杜布提出的一門數學理論。杜布是美國數學家·1910年10月27日生於辛辛那提·2004年6月7日卒於伊利諾伊。

杜布畢業於哈佛大學，1932年獲博士學位·他是美國國家科學院和美國科學藝術研究院院士·伊利諾伊大學教授。

杜布的主要貢獻是機率論.他深入研究了隨機過程理論，得出了任意的隨機過程都具有可分修正，建立了隨機函式理論的公理結構。他是鞅論的奠基人，雖然萊維等人早在1935年發表了一些孕育著鞅論的工作，1939年維爾引進“鞅”(martingale)這個名稱，但對鞅進行系統研究並使之成為隨機過程論的一個重要分支的，則應歸功於杜布.他還引進了半鞅的概念.在鞅論中有以他的姓氏命名的著名的杜布停止定理、杜布──邁耶上鞅分解定理等.鞅論使隨機過程的研究進一步抽象化，不僅豐富了機率論的內容，而且為其它數學分支如調和分析、複變函數、位勢理論等提供了有力的工具。

對馬爾可夫過程，杜布關於軌道的嚴密處理進行了系統的研究。他對代數函式中的聚值集的理論也作出了貢獻。他還對霍普夫的個體遍歷定理的特殊情形給出了證明。在數學中以他的姓氏命名的還有：杜布定理、杜布不等式、杜布收斂性等等。

杜布的著作有《隨機過程》(1953年)等。

下鞅

下鞅是鞅的一種推廣。設{X(t)，t∈R₊}為定義在機率空間(Ω，F，P)上關於上升σ代數族{F_t}_t∈R+適應的隨機過程.稱{X(t)，t∈R₊}為{F_t}下鞅，如果下列兩條件成立：

1.對每一t∈R₊，X(t)可積.

2.對任意t>s≥0，E[X(t)|F_s]≥X(s) a.s.P.由條件2立即推出E[X(t)]≥E[X(s)].若{X(t)，t∈R₊}是{F_t}上鞅，則由Y(t)=-X(t)定義的過程{Y(t)，t∈R₊}是{F_t}下鞅；反之亦然。因此在許多問題的研究中只須就上鞅(或下鞅)的情形討論。