整式不等式

整式不等式(inequality of integral expression)是一種有理不等式，指不等式的兩端都是整式者，整式不等式按未知數的個數和不等式的次數分類，含有n個未知數，且兩端整式最高次數為一次的不等式稱為n元一次(或n元線性)不等式，如果不等式兩端整式的最高次數是r，那么這個不等式稱為n元r次不等式。

基本介紹

• 中文名：整式不等式
• 外文名：inequality of integral expression
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：初等代數(不等式)
• 性質：一種有理不等式

基本介紹

整式不等式是有理不等式中的一類，指兩個整式由不等號連結而成的不等式。這兩個整式次數的較大者定義為不等式的次數。在解不等式問題中，最基本的整式不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式、二元一次不等式等。

整式不等式的一般形式為

整式不等式的解法

為方便敘述，下面將不等式的解集統一記為D。

(1)當n=1時， (a≠0)是一元一次不等式。

若a>0，則D= ；

若a<0，則D= 。

(2)當n=2時， (a₂≠0)是一元二次不等式，兩端同時除以a₂即可歸結為下面兩種情形之一：

①x²+px+q>0.

若 ，則D=(-∞,+∞)；

若 ,則

②x²+px+q<0.

若 ,則 ；

若 ,則

(3)當n≥3時,稱 為一元高次不等式,該類不等式的求解常採用“數軸穿根法”,其步驟如下:

①兩端同時除以a_n得 (或<0)；

②因式分解得

或

其中

③化簡得 (或<0)；

④在x軸上依次標出

⑤從x軸右上方開始,依據“奇穿偶返”原則進行穿線,x軸上方(下方)曲線所對應區間的並集便是 (或<0)的解集。

例題解析

【例1】解關於x的不等式ax-a²+3a>x+2。

解 原不等式可化為(a-1)x>(a-1)(a-2)，

當a=1時，D=∅；

當a>1時，D=(a-2,+∞)；

當a<1時，D=(-∞,a-2)。

【例2】解不等式

解 因式分解得x(x-1)²(x-2)(x+4)≥0，

其“數軸穿根”圖如圖1所示：

圖1

由圖1可知。