基本介紹
- 中文名：簡單高次不等式
- 所屬：初等數學重要內容之一
- 類型：通常為一元高次不等式
- 解法：為不等式組法、列表法等
列表法,分組法,
列表法
解題步驟是：
①將不等式化為(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各項x的符號化“+”），令(x-x1)(x-x2)…(x-xn)=0，求出各根，不妨稱之為分界點，一個分界點把（實數）數軸分成兩部分，n個分界點把數軸分成n+1部分……；
②按各根把實數分成的n+1部分，由小到大橫向排列，相應各因式縱向排列（由對應較小根的因式開始依次自上而下排列）；
③計算各區間內各因式的符號，下面是乘積的符號；
④看下面積的符號寫出不等式的解集.
例題解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)>0；
解：①檢查各因式中x的符號均正；
②求得相應方程的根為：-2，1，3；
③列表如下：
x<-2 | -2<x<1 | 1<x<3 | x>3 | |
x+2 | - | + | + | + |
x-1 | - | - | + | + |
x-3 | - | - | - | + |
各因式積 | - | + | - | + |
④由上表可知，原不等式的解集為：{x|-2<x<1或x>3}.
根軸法
①將不等式化為(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式，並將各因式x的係數化“+”；(為了統一方便)
②求根，並在數軸上表示出來；
③由右上方穿線，經過數軸上表示各根的點（為什麼？原因為：當x=+
時不等式左側恆為正。）；
④若不等式（x的係數化“+”後）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區間.
注意：奇穿偶不穿
例題解不等式：(x-2)(x-3)(x+1)<0.
解：①檢查各因式中x的符號均正；
②求得相應方程的根為：-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）；
③在數軸上表示各根並穿線，每個根穿一次（自右上方開始），如下圖：
④∴原不等式的解集為：{x|-1<x<2或2<x<3}.
說明：∵3是三重根，∴在C處穿三次，2是二重根，∴在B處穿兩次，結果相當於沒穿.由此看出，當左側f(x)有相同因式(x-x1)時，n為奇數時，曲線在x1點處穿過數軸；n為偶數時，曲線在x1點處不穿過數軸，不妨歸納為“奇穿偶不穿”.
分組法
此種方法的本質是分類討論，強化了“或”與“且”，進一步滲透了“交”與“並”的思想方法
例題解不等式 x（3x2+2x-8）（1+x-2 x）≤0
解： 原不等式同解於 x（3x-4）（x+2）（2x+1）（x-1）≥0
先解不等式 x（3x-4）（x+2）（2x+1）（x-1）≥0 （*）同解於
x（x-4/3）（x+2）（x+1/2）（x-1）>0
由於 x-4/3< x-1<x< x+1/2< x+2
（1） x-4/3>0即x>4/3；
（2）, x-1<0,x>0即0<x<1；
（3） x+2>0,x+1/2<0，即-2<x<-1/2。
所以，（*）的解是-2<x<-1/2或0<x<1或x>4/3.那么，原不等式的解是-2≤x≤-1/2或0≤x≤1或x≥4/3。
