下鞅

{X_n，n≥0}與{Y_n，n≥0}是隨機過程，如果滿足下列條件：

(1) E(X⁺)<+∞，x⁺=max(x，0)；

(2) E(X_n+1|Y₀，Y₁，...，Y_n)≥X_n；

(3) X_n是 Y₀，Y₁，...，Y_n的函式。

則稱{X_n，n≥0}關於{Y_n，n≥0}是一個下鞅。

基本介紹

• 中文名：下鞅
• 外文名：submartingale
• 所屬學科：數理科學
• 相關概念：隨機過程、鞅分解定理等

基本介紹

鞅可以用於研究公平賭博(公平博弈)，然而，現實生活中的博弈很多時候都是非公平的，此時，就需要藉助上、下鞅的理論，上、下鞅可以解決非公平博弈問題。

定義1 與 是隨機過程，如果滿足下列條件：

(1)

(2)

(3) 是 的函式。

則稱 關於 是一個上鞅。

定義2 與 是隨機過程，如果滿足下列條件：

(1)

(2)

(3) 是 的函式。

則稱 關於 是一個下鞅。

下鞅的性質及證明

定理 如果 ， 關於 是上(下)鞅， 則 關於 是上(下)鞅。

證明：若，關於是上鞅，則：

進而

即關於是上鞅。

同理，可證關於是下鞅。

Jensen不等式與下鞅的構造

先介紹Jensen不等式，設為一凸函式，即對有

其推廣結果為：對

因此，。

同理，。

將X換成X_n+1，然後利用下鞅的性質可得下面的定理。

定理1 如果關於是鞅，為一凸函式，且對，則關於是下鞅。

推論1 如果關於是鞅，對，則，關於是下鞅。

由於絕對值函式和平方函式為凸函式，因此可用任意凸函式構造下鞅。

推論2 如果關於是鞅，對，則關於是下鞅。

注意： 函式是關於x的凸函式(convex function)，其中a>0，x≥0．

對任意的非負隨機變數X，利用Jensen不等式，於是有

當然，此函式也可用於下鞅的討論。

鞅分解定理

定理 對於任意一個關於的下鞅，必存在過程與，使得：

(1)關於是鞅；

(2)是的函式(n≥2)，且；

(3)。

且上述分解是唯一的。