《三類分數階反常擴散方程的數值算法》是依託哈爾濱工業大學，由姜薇擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：三類分數階反常擴散方程的數值算法
- 依託單位：哈爾濱工業大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：姜薇
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
反常擴散現象在自然界中普遍存在，尤其在某些複雜系統包括分形介質上的擴散過程中該現象更為常見。用分數階微積分可以更為精確的描述這一現象，由此建立了大量的分數階反常擴散方程，但求解這些方程的閥連埋擊解析解比較困難。本項目基於再生核理論研究三類不同的分數階反常擴散方程的數值算法，這三類方程分別是：(1)非線性分數階Fokker-Planck方程；(2)變分數階反常擴散方程；(3)對於多維分數階方程，以三維為例，研究分數階Klein-Kramers方程。並對本項目提出的數值算法進行必要的理論分析和數達盼戶值實驗。.由於再生核理論套用於分數階問題才剛剛起步，所以本項目的研究不僅可以給出一些分數階方程的數值解法，還能豐富再生核理論的研究。
結題摘要
分數階擴散方程能夠更加精確的描述自然界普遍存在的擴甩艱歡散現象，由此建立了非常多的分數階擴散方程，如何求解這類方程成為迫切需要解決的關鍵問題，由於分數階運算元的特性，增加了理論分棵辯舉析和數值計算的難度。 本項目針對分數階方程的求解難題建立了基於再生核理論的數值算法，主要研究內容包括：（1）非線性分數階Fokker-Planck方程的再生核配置法；（2）變分數階非線性反常擴散方程的樣條再生核方法；（3）複數域上的方程求解，以分數階薛定鄂方程為例子，提出一種分離求解方法；（4）引入譜元法的思想，提出求解多維分數階方程的半離散再生核方法。 本項目的研究在三個方面取得了較大的研究進展，得到了比較好的理論分析結果和數值實驗數據，分別是：（1）發展並完善了再生核基礎理棕元疊拳論，構造了分數階再生核空間，為再生核空間引入一組新的基底，提高了數值精度；（2）提出再生核配置法、樣條再生核方法和半離散想堡欠再生核方法，給出一種轉換思想解決了複數域方程難於用再生核理論求解的問題；（3）對譜方法進行了改進與完善，包括全離散譜配置法的收斂性、穩定性分析，結合譜配置法與有限元法的優點構建新的譜元法。 本項目的研究不僅為工程套用提供了催鞏有效的數值算法，還為進一步研究分數階方程問題提供了理論基礎。
