《三角曲線與孤子方程的代數幾何解》是依託鄭州大學，由耿獻國擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：三角曲線與孤子方程的代數幾何解
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：耿獻國
- 依託單位：鄭州大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
系統地研究非超橢圓曲線即三角曲線的理論並探索求解與3×3矩陣譜問題相聯繫的孤子方程族代數幾何解的理論框架，特別是三角曲線帶有三個無窮遠點情形。基於3×3矩陣譜問題相聯繫的孤子方程族Lax矩陣所產生的三角曲線及其緊化給出的三葉Riemann面的特性，構造相應三葉Riemann面上的三類全純微分或漸近式表示以及Baker-Akhiezer函式和亞純函式。給出一個系統的方法引入μ和ν變數的母函式，並導出它們滿足的Dubrovin方程。在局部坐標下計算Baker-Akhiezer函式與亞純函式的展式、三葉Riemann面上點坐標的漸近展式及其Riemann theta 函式表示，研究Abel坐標與孤子方程解在原坐標下的關係，由此導出一批與3×3矩陣譜問題相聯繫的孤子方程族的代數幾何解。
結題摘要
孤子方程的代數幾何解描述非線性現象的擬周期行為並揭示了孤子方程可積性的重要特徵以及解的內在結構機制。然而, 由於涉及代數曲線的理論，求解孤子方程的代數幾何解是高難度的重要課題。我們系統研究了與3×3 矩陣譜問題相聯繫三角曲線的構造、緊化生成的三葉Riemann面的性質,特彆強調研究了帶有三個無窮遠點和兩個無窮遠點三葉Riemann面的性質。基於三葉Riemann 面的特性，我們導出相應三葉Riemann 面上的三類全純微分及其漸近式表示以及Baker-Akhiezer函式和亞純函式。藉助Riemann面的虧格我們給出一個系統的方法引入μ和ν變數的母函式，並導出它們滿足的Dubrovin方程。在局部坐標下，我們計算出Baker-Akhiezer 函式與亞純函式的展式、三葉Riemann面上點坐標的漸近展式及其Riemann theta函式表示。利用Abel映射拉直各種流。我們研究Abel坐標與孤子方程解在原坐標下的關係，由此導出一批與3×3 矩陣譜問題相聯繫的孤子方程族的代數幾何解,例如Kaup-Kupershmidt族、修正Sawada-Kotera族、耦合mKdV族、三波方程族、Vakhnenko方程、二分量Klein–Gordon方程、Bullough-Dodd-Zhiber-Shabat方程等。此外，基於超橢圓曲線的理論，我們導出一些與2×2 矩陣譜問題相聯繫的孤子方程族的代數幾何解，其中包括經典的導數非線性Schrodinger方程族和帶負冪流的孤子族。我們提出幾個新的可積方程族、超可積方程族和幾個新的具有N-尖孤子的可積模型。利用跡恆等式我們建立了它們的Hamiltonian結構並導出其無窮多守恆律。進而，我們得到N-尖孤子所滿足的動力系統和N-尖孤子解顯表達式。
