代數曲線與孤子方程的有限虧格解

《代數曲線與孤子方程的有限虧格解》是依託鄭州大學，由翟云云擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：代數曲線與孤子方程的有限虧格解
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：翟云云
• 依託單位：鄭州大學

項目摘要

孤子方程的求解及解的研究是可積系統領域研究的重要組成部分，本項目基於代數曲線理論來研究孤子方程的有限虧格解，內容主要包括：（一）構造與二階微分運算元相聯繫的孤子方程的有限虧格解，並研究解的約化及套用；（二）研究與三階微分運算元相聯繫的孤子方程，利用駐定零曲率方程定義三葉緊緻非奇異Riemann面，研究該Riemann面在一些有限點以及無窮遠點處的性質，根據這些性質來選取局部坐標，在局部坐標下考察亞純函式以及Baker-Akhiezer函式的因子和漸近展式，結合其theta函式表示構造出孤子方程的有限虧格解。上述研究在實際套用中具有重要的價值，同時在理論研究上也是對代數幾何方法的進一步完善。

結題摘要

求解及尋找新的孤子方程是可積系統領域研究的重要組成部分，本項目重點研究了與2×2和3×3矩陣譜問題相聯繫的可積系統，主要內容可分為以下兩個方面： (1)關於2×2矩陣譜問題，研究了與Ablowitz-Kaup-Newell-Segur(AKNS)和 Wadati-Konno-Ichikawa (WKI) 譜問題相關的非線性演化方程的推廣與約化，通過負冪流的約化得到了一個新的可積方程——廣義sinh-Gordon 方程；利用Darboux變換給出了一個新的耦合NLS-型方程的精確解；利用代數幾何方法，得到了沿正負冪雙向展開的離散修正Toda孤子方程族和負冪 Kaup-Newell鏈方程的黎曼theta函式解。 (2)基於代數曲線理論研究與3×3矩陣譜問題相聯繫的Sasa-Satsuma方程、長短波型方程和一個離散的可積方程族的有限虧格解，利用駐定零曲率方程定義三葉緊緻非奇異Riemann面，研究該Riemann面在一些有限點以及無窮遠點處的性質，根據這些性質來選取局部坐標，在局部坐標下考察亞純函式以及Baker-Akhiezer函式的因子和漸近展式，結合其theta函式表示構造出孤子方程的有限虧格解。在研究與3×3矩陣譜問題相聯繫的Sasa-Satsuma方程過程中，提出了一個超Sasa-Satsuma方程族，並研究了該系統的超雙-Hamiltonian 結構。 上述研究在實際套用中具有重要的價值，同時在理論研究上也是對可積系統和代數幾何方法的進一步完善。