三角插值(trigonometric interpolation),常用的插值方法之一,指取插值函式為三角多項式的插值方法。特別適用於對周期函式的插值.設被插值函式f(x)為以2二為周期的函式,取n階三角多項式,稱上式為高斯三角插值公式。
基本介紹
- 中文名:三角插值
- 外文名:trigonometric interpolation
- 領域:數理科學
- 套用:函式逼近,插值方法
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概念
而三角插值,作為常用的插值方法之一,是指取插值函式為三角多項式的插值方法。特別適用於對周期函式的插值.設被插值函式f(x)為以2二為周期的函式,取n階三角多項式稱上式為高斯三角插值公式。
相關定理
定理1
設函式f的周期函式為
、且具有連續的一階導數,則Fourier級數
一致收斂於f。其中係數有下列公式計算:





定理2
Flourier級數定理)
設,
則


三角多項式
在數學中,三角多項式是一類基於三角函式的函式的總稱。三角多項式是可以表示成有限個正弦函式sin(nx) 和餘弦函式cos(nx) 的和的函式,其中的x是變數,而n是一個自然數。三角多項式中每一項的係數可以是實數或者複數。如果係數是複數的話,那么這個三角多項式是一個傅立葉級數。
定義
一個函式T如果能夠寫成:


性質



三角多項式都是周期為
的周期函式。同時,任何連續的周期函式都可以藉助於三角多項逼近到任意接近的程度。

套用
(費耶三角插值)在傅利葉譜分析中 ,一旦函式 f 的狄利克雷和係數通過在等距節點處的數值求積確定下來 ,結果函式就在這些點處插值 f 並以高精度逼近連續部分和 。 通過研究三角多項式和立方樣條差值逼近連續費耶和問題 ,可以得到以下結果 :連續費耶和可以通過兩個費耶插值的平均以高精度逼近 ,一個在偶指標結點集插值 f ,另一個在奇指標結點集插值 f ,由於立方樣條插值容易構造 ,所以它常被用來代替三角插值 。
許多人研究過三角插值求和表明 ,在許多情況下 ,傅利葉級數的每個收斂或可和性理論 ,都可以移植到等距節點的三角插值過程的收斂性或可和性 ,這一類型的運算元可看作離散運算元的特例 。