一元八次方程求根公式

一元八次方程求根公式

只含有一個未知數(一元)，並且未知數項的最高次數是八次的整式方程叫做一元八次方程。這是一元八次方程的完整版求根公式，雖說有些八次方程能因式分解求根，但卻不能用通解公式表達。根據阿貝爾定理，大於四次的方程沒有根式通解；所以天珩公式也僅對部分特殊的高次方程存在根式解，詳見判別法則。一元八次方程求根公式為沈天珩推導(天珩公式)。請看正文——

基本介紹

  • 中文名：一元八次方程求根公式
  • 提出者：沈天珩
  • 提出時間：2014年
  • 套用學科：數學
  • 適用領域範圍：一元八次方程求解
  • 適用領域範圍：八維空間有關問題
  • 英文名：Formula for Octic Equations
  • 日文名：一変數の八次方程式の解の公式
滿足條件,方程形式,一般形式,變形式(特殊形式),分解式,根與係數的關係,完整公式,例題,計算機代碼實現,

滿足條件

一元八次方程必須同時滿足三個條件：
①是整式方程，即等號兩邊都是整式：方程中如果有分母，且未知數在分母上，那么這個方程就是分式方程，不是一元八次方程；方程中如果有根號，且未知數在根號內，那么這個方程就是無理方程，也不是一元八次方程。
②只含有一個未知數；
③未知數項的最高次數是八。

方程形式

一般形式

其中：a,b,c,d,e,f,g,h,j被稱為方程的係數(零次項係數也稱為常數項)，且都為實數。x被稱為變數。
使得方程左右兩邊相等的未知數x的值被稱為方程的解。也叫做這個一元八次方程的根。對於任意一個實係數一元八次方程，其總有八個根(可能存在重根或虛根)，並且虛根總是成對出現。

變形式(特殊形式)

  1. 缺項式：方程僅有八次項和常數項。
  2. 對稱式：方程的各項係數呈對稱形態。

分解式

a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)(x-x5)(x-x6)(x-x7)(x-x8)=0
其中：xn(n=1,2,3,4,5,6,7,8)被稱為該一元八次方程的八個根。

根與係數的關係

完整公式

由於公式不方便直接輸入，故使用圖片。
一元八次方程求根公式-圖片1一元八次方程求根公式-圖片1
一元八次方程求根公式-圖片2一元八次方程求根公式-圖片2
一元八次方程求根公式-圖片3一元八次方程求根公式-圖片3
一元八次方程求根公式-圖片4一元八次方程求根公式-圖片4
一元八次方程求根公式-圖片5一元八次方程求根公式-圖片5

例題

由於公式數量過多，故無法將例題一一列舉。詳見參考資料-一元八次方程求根公式。

計算機代碼實現

用Javascript編寫的網頁版一元八次方程求解工具已經存在。以下是其script部分代碼。
function myFunction()
{
var a=Number(document.getElementById("a").value)
var b=Number(document.getElementById("b").value)
var c=Number(document.getElementById("c").value)
var d=Number(document.getElementById("d").value)
var e=Number(document.getElementById("e").value)
var f=Number(document.getElementById("f").value)
var g=Number(document.getElementById("g").value)
var h=Number(document.getElementById("h").value)
var j=Number(document.getElementById("j").value)
var G=7*b*b-16*a*c
var H=7*b*b*b-24*a*b*c+32*a*a*d
var J=15*b*b*c-100*a*b*d+256*a*a*e
var K=b*b*b*c-8*a*b*b*d+32*a*a*b*e-64*a*a*a*f
var L=5*b*b*b*d-72*a*b*b*e+528*a*a*b*f-2048*a*a*a*g
var M=b*b*b*b*d-16*a*b*b*b*e+144*a*a*b*b*f-896*a*a*a*b*g+3584*a*a*a*a*h
var N=b*b*b*b*e-28*a*b*b*b*f+464*a*a*b*b*g-5952*a*a*a*b*h+65536*a*a*a*a*j
var D=3*G*G-8*a*J
var E=G*G*G-4*a*G*J+16*a*a*L
var F=3*G*G*G*G+16*a*a*J*J-16*a*G*G*J+32*a*a*G*L-64*a*a*a*N
var A=D*D-3*F
var B=D*F-9*E*E
var C=F*F-3*D*E*E
var delta=B*B-4*A*C
if(G==0 && H==0 && J==0 && K==0 && L==0 && M==0 && N==0)
{
var x01=-b/(8*a)
var x02=-b/(8*a)
var x03=-b/(8*a)
var x04=-b/(8*a)
var x05=-b/(8*a)
var x06=-b/(8*a)
var x07=-b/(8*a)
var x08=-b/(8*a)
}
else if(H==0 && K==0 && M==0 && D==0 && E==0 && F==0)
{
if(7*b*b>16*a*c)
{
var x01=(-b+Math.sqrt(7*b*b-16*a*c))/(8*a)
var x02=(-b+Math.sqrt(7*b*b-16*a*c))/(8*a)
var x03=(-b+Math.sqrt(7*b*b-16*a*c))/(8*a)
var x04=(-b+Math.sqrt(7*b*b-16*a*c))/(8*a)
var x05=(-b-Math.sqrt(7*b*b-16*a*c))/(8*a)
var x06=(-b-Math.sqrt(7*b*b-16*a*c))/(8*a)
var x07=(-b-Math.sqrt(7*b*b-16*a*c))/(8*a)
var x08=(-b-Math.sqrt(7*b*b-16*a*c))/(8*a)
}
else
{
var x01=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(16*a*c-7*b*b)/Math.abs(8*a)+"i"
var x02=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(16*a*c-7*b*b)/Math.abs(8*a)+"i"
var x03=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(16*a*c-7*b*b)/Math.abs(8*a)+"i"
var x04=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(16*a*c-7*b*b)/Math.abs(8*a)+"i"
var x05=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(16*a*c-7*b*b)/Math.abs(8*a)+"i"
var x06=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(16*a*c-7*b*b)/Math.abs(8*a)+"i"
var x07=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(16*a*c-7*b*b)/Math.abs(8*a)+"i"
var x08=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(16*a*c-7*b*b)/Math.abs(8*a)+"i"
}
}
else if(H==0 && K==0 && M==0 && A==0 && B==0 && C==0)
{
if(D*D*G<-9*D*E && D*D*G<3*D*E)
{
var x01=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-D*D*G-9*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
var x02=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-D*D*G+3*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
var x03=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-D*D*G+3*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
var x04=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-D*D*G+3*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
var x05=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-D*D*G-9*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
var x06=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-D*D*G+3*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
var x07=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-D*D*G+3*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
var x08=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-D*D*G+3*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
}
else if(-9*D*E<=D*D*G && D*D*G<3*D*E)
{
var x01=(-b*D+Math.sqrt(D*D*G+9*D*E))/(8*a*D)
var x02=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-D*D*G+3*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
var x03=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-D*D*G+3*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
var x04=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-D*D*G+3*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
var x05=(-b*D-Math.sqrt(D*D*G+9*D*E))/(8*a*D)
var x06=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-D*D*G+3*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
var x07=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-D*D*G+3*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
var x08=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-D*D*G+3*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
}
else if(3*D*E<=D*D*G && D*D*G<-9*D*E)
{
var x01=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-D*D*G-9*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
var x02=(-b*D+Math.sqrt(D*D*G-3*D*E))/(8*a*D)
var x03=(-b*D+Math.sqrt(D*D*G-3*D*E))/(8*a*D)
var x04=(-b*D+Math.sqrt(D*D*G-3*D*E))/(8*a*D)
var x05=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-D*D*G-9*D*E)/Math.abs(8*a*D)+"i"
var x06=(-b*D-Math.sqrt(D*D*G-3*D*E))/(8*a*D)
var x07=(-b*D-Math.sqrt(D*D*G-3*D*E))/(8*a*D)
var x08=(-b*D-Math.sqrt(D*D*G-3*D*E))/(8*a*D)
}
else
{
var x01=(-b*D+Math.sqrt(D*D*G+9*D*E))/(8*a*D)
var x02=(-b*D+Math.sqrt(D*D*G-3*D*E))/(8*a*D)
var x03=(-b*D+Math.sqrt(D*D*G-3*D*E))/(8*a*D)
var x04=(-b*D+Math.sqrt(D*D*G-3*D*E))/(8*a*D)
var x05=(-b*D-Math.sqrt(D*D*G+9*D*E))/(8*a*D)
var x06=(-b*D-Math.sqrt(D*D*G-3*D*E))/(8*a*D)
var x07=(-b*D-Math.sqrt(D*D*G-3*D*E))/(8*a*D)
var x08=(-b*D-Math.sqrt(D*D*G-3*D*E))/(8*a*D)
}
}
else if(H==0 && K==0 && M==0 && E==0 && F==0)
{
if(D>0 && G<-Math.sqrt(D))
{
var x01=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-G+Math.sqrt(D))/Math.abs(8*a)+"i"
var x02=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-G+Math.sqrt(D))/Math.abs(8*a)+"i"
var x03=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-G-Math.sqrt(D))/Math.abs(8*a)+"i"
var x04=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-G-Math.sqrt(D))/Math.abs(8*a)+"i"
var x05=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-G+Math.sqrt(D))/Math.abs(8*a)+"i"
var x06=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-G+Math.sqrt(D))/Math.abs(8*a)+"i"
var x07=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-G-Math.sqrt(D))/Math.abs(8*a)+"i"
var x08=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-G-Math.sqrt(D))/Math.abs(8*a)+"i"
}
else if(D>0 && -Math.sqrt(D)<=G && G<Math.sqrt(D))
{
var x01=(-b+Math.sqrt(G+Math.sqrt(D)))/(8*a)
var x02=(-b+Math.sqrt(G+Math.sqrt(D)))/(8*a)
var x03=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-G+Math.sqrt(D))/Math.abs(8*a)+"i"
var x04=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-G+Math.sqrt(D))/Math.abs(8*a)+"i"
var x05=(-b-Math.sqrt(G+Math.sqrt(D)))/(8*a)
var x06=(-b-Math.sqrt(G+Math.sqrt(D)))/(8*a)
var x07=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-G+Math.sqrt(D))/Math.abs(8*a)+"i"
var x08=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-G+Math.sqrt(D))/Math.abs(8*a)+"i"
}
else if(D>0 && G>=Math.sqrt(D))
{
var x01=(-b+Math.sqrt(G+Math.sqrt(D)))/(8*a)
var x02=(-b+Math.sqrt(G+Math.sqrt(D)))/(8*a)
var x03=(-b+Math.sqrt(G-Math.sqrt(D)))/(8*a)
var x04=(-b+Math.sqrt(G-Math.sqrt(D)))/(8*a)
var x05=(-b-Math.sqrt(G+Math.sqrt(D)))/(8*a)
var x06=(-b-Math.sqrt(G+Math.sqrt(D)))/(8*a)
var x07=(-b-Math.sqrt(G-Math.sqrt(D)))/(8*a)
var x08=(-b-Math.sqrt(G-Math.sqrt(D)))/(8*a)
}
else
{
var x01=(-2*b+Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D)))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D))/Math.abs(16*a)+"i"
var x02=(-2*b+Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D)))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D))/Math.abs(16*a)+"i"
var x03=(-2*b-Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D)))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D))/Math.abs(16*a)+"i"
var x04=(-2*b-Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D)))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D))/Math.abs(16*a)+"i"
var x05=(-2*b+Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D)))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D))/Math.abs(16*a)+"i"
var x06=(-2*b+Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D)))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D))/Math.abs(16*a)+"i"
var x07=(-2*b-Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D)))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D))/Math.abs(16*a)+"i"
var x08=(-2*b-Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D)))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D))/Math.abs(16*a)+"i"
}
}
else if(H==0 && K==0 && M==0 && delta==0)
{
if(A*B>0)
{
if(G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)+Math.sqrt(2*B/A)>=0)
{
var x01=(-b+Math.sqrt(G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)+Math.sqrt(2*B/A)))/(8*a)
var x05=(-b-Math.sqrt(G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)+Math.sqrt(2*B/A)))/(8*a)
}
else
{
var x01=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-G-Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)-Math.sqrt(2*B/A))/Math.abs(8*a)+"i"
var x05=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-G-Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)-Math.sqrt(2*B/A))/Math.abs(8*a)+"i"
}
if(G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)-Math.sqrt(2*B/A)>=0)
{
var x02=(-b+Math.sqrt(G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)-Math.sqrt(2*B/A)))/(8*a)
var x06=(-b-Math.sqrt(G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)-Math.sqrt(2*B/A)))/(8*a)
}
else
{
var x02=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-G-Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)+Math.sqrt(2*B/A))/Math.abs(8*a)+"i"
var x06=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-G-Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)+Math.sqrt(2*B/A))/Math.abs(8*a)+"i"
}
if(G-Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)>=0)
{
var x03=(-b+Math.sqrt(G-Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)))/(8*a)
var x04=(-b+Math.sqrt(G-Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)))/(8*a)
var x07=(-b-Math.sqrt(G-Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)))/(8*a)
var x08=(-b-Math.sqrt(G-Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)))/(8*a)
}
else
{
var x03=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A))/Math.abs(8*a)+"i"
var x04=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A))/Math.abs(8*a)+"i"
var x07=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A))/Math.abs(8*a)+"i"
var x08=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A))/Math.abs(8*a)+"i"
}
}
else
{
var x01=(-2*b+Math.sqrt(2*G-2*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)+2*Math.sqrt(G*G+D-2*G*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)-3*B/A)))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)+2*Math.sqrt(G*G+D-2*G*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)-3*B/A))/Math.abs(16*a)+"i"
var x02=(-2*b-Math.sqrt(2*G-2*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)+2*Math.sqrt(G*G+D-2*G*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)-3*B/A)))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)+2*Math.sqrt(G*G+D-2*G*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)-3*B/A))/Math.abs(16*a)+"i"
var x05=(-2*b+Math.sqrt(2*G-2*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)+2*Math.sqrt(G*G+D-2*G*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)-3*B/A)))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)+2*Math.sqrt(G*G+D-2*G*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)-3*B/A))/Math.abs(16*a)+"i"
var x06=(-2*b-Math.sqrt(2*G-2*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)+2*Math.sqrt(G*G+D-2*G*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)-3*B/A)))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)+2*Math.sqrt(G*G+D-2*G*Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)-3*B/A))/Math.abs(16*a)+"i"
if(G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)>=0)
{
var x03=(-b+Math.sqrt(G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)))/(8*a)
var x04=(-b+Math.sqrt(G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)))/(8*a)
var x07=(-b-Math.sqrt(G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)))/(8*a)
var x08=(-b-Math.sqrt(G+Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A)))/(8*a)
}
else
{
var x03=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-G-Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A))/Math.abs(8*a)+"i"
var x04=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-G-Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A))/Math.abs(8*a)+"i"
var x07=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-G-Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A))/Math.abs(8*a)+"i"
var x08=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-G-Math.sign(E)*Math.sqrt(D-B/A))/Math.abs(8*a)+"i"
}
}
}
else if(H==0 && K==0 && M==0 && delta>0)
{
var z1=A*D+3*(-B+Math.sqrt(B*B-4*A*C))/2
var z2=A*D+3*(-B-Math.sqrt(B*B-4*A*C))/2
var z=D*D-D*(Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))+(Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))*(Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))-3*Math.cbrt(z1*z2)
var y=(4*a*J+Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2)+Math.sqrt(z)-G*Math.sign(E)*Math.sqrt(3*D+3*(Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))))/6
var y1=Math.sqrt(y)+(3*G-Math.sign(E)*Math.sqrt(3*D+3*(Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))))/6
var y2=Math.sqrt(y)-(3*G-Math.sign(E)*Math.sqrt(3*D+3*(Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))))/6
var x03=(-b+Math.sqrt(y1))/(8*a)+"+"+Math.sqrt(y2)/Math.abs(8*a)+"i"
var x04=(-b-Math.sqrt(y1))/(8*a)+"+"+Math.sqrt(y2)/Math.abs(8*a)+"i"
var x07=(-b+Math.sqrt(y1))/(8*a)+"-"+Math.sqrt(y2)/Math.abs(8*a)+"i"
var x08=(-b-Math.sqrt(y1))/(8*a)+"-"+Math.sqrt(y2)/Math.abs(8*a)+"i"
if(G+Math.sign(E)*Math.sqrt((D+Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))/3)+Math.sqrt((2*D-Math.cbrt(z1)-Math.cbrt(z2)+2*Math.sqrt(z))/3)>=0)
{
var x01=(-b+Math.sqrt(G+Math.sign(E)*Math.sqrt((D+Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))/3)+Math.sqrt((2*D-Math.cbrt(z1)-Math.cbrt(z2)+2*Math.sqrt(z))/3)))/(8*a)
var x05=(-b-Math.sqrt(G+Math.sign(E)*Math.sqrt((D+Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))/3)+Math.sqrt((2*D-Math.cbrt(z1)-Math.cbrt(z2)+2*Math.sqrt(z))/3)))/(8*a)
}
else
{
var x01=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-(G+Math.sign(E)*Math.sqrt((D+Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))/3)+Math.sqrt((2*D-Math.cbrt(z1)-Math.cbrt(z2)+2*Math.sqrt(z))/3)))/Math.abs(8*a)+"i"
var x05=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-(G+Math.sign(E)*Math.sqrt((D+Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))/3)+Math.sqrt((2*D-Math.cbrt(z1)-Math.cbrt(z2)+2*Math.sqrt(z))/3)))/Math.abs(8*a)+"i"
}
if(G+Math.sign(E)*Math.sqrt((D+Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))/3)-Math.sqrt((2*D-Math.cbrt(z1)-Math.cbrt(z2)+2*Math.sqrt(z))/3)>=0)
{
var x02=(-b+Math.sqrt(G+Math.sign(E)*Math.sqrt((D+Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))/3)-Math.sqrt((2*D-Math.cbrt(z1)-Math.cbrt(z2)+2*Math.sqrt(z))/3)))/(8*a)
var x06=(-b-Math.sqrt(G+Math.sign(E)*Math.sqrt((D+Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))/3)-Math.sqrt((2*D-Math.cbrt(z1)-Math.cbrt(z2)+2*Math.sqrt(z))/3)))/(8*a)
}
else
{
var x02=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-(G+Math.sign(E)*Math.sqrt((D+Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))/3)-Math.sqrt((2*D-Math.cbrt(z1)-Math.cbrt(z2)+2*Math.sqrt(z))/3)))/Math.abs(8*a)+"i"
var x06=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-(G+Math.sign(E)*Math.sqrt((D+Math.cbrt(z1)+Math.cbrt(z2))/3)-Math.sqrt((2*D-Math.cbrt(z1)-Math.cbrt(z2)+2*Math.sqrt(z))/3)))/Math.abs(8*a)+"i"
}
}
else if(H==0 && K==0 && M==0 && delta<0)
{
var theta=Math.acos((3*B-2*A*D)/(2*A*Math.sqrt(A)))
var y1=(D+Math.sqrt(A)*(Math.cos(theta/3)+Math.sqrt(3)*Math.sin(theta/3)))/3
var y2=(D+Math.sqrt(A)*(Math.cos(theta/3)-Math.sqrt(3)*Math.sin(theta/3)))/3
var y3=(D-2*Math.sqrt(A)*Math.cos(theta/3))/3
if(E==0 && D>0 && F>0)
{
if(4*G+2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))>=0)
{
var x01=(-2*b+Math.sqrt(4*G+2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/(16*a)
var x05=(-2*b-Math.sqrt(4*G+2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/(16*a)
}
else
{
var x01=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-(4*G+2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/Math.abs(16*a)+"i"
var x05=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-(4*G+2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/Math.abs(16*a)+"i"
}
if(4*G+2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))-2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))>=0)
{
var x02=(-2*b+Math.sqrt(4*G+2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))-2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/(16*a)
var x06=(-2*b-Math.sqrt(4*G+2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))-2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/(16*a)
}
else
{
var x02=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-(4*G+2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))-2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/Math.abs(16*a)+"i"
var x06=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-(4*G+2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))-2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/Math.abs(16*a)+"i"
}
if(4*G-2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))>=0)
{
var x03=(-2*b+Math.sqrt(4*G-2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/(16*a)
var x07=(-2*b-Math.sqrt(4*G-2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/(16*a)
}
else
{
var x03=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-(4*G-2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/Math.abs(16*a)+"i"
var x07=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-(4*G-2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/Math.abs(16*a)+"i"
}
if(4*G-2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))-2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))>=0)
{
var x04=(-2*b+Math.sqrt(4*G-2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))-2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/(16*a)
var x08=(-2*b-Math.sqrt(4*G-2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))-2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/(16*a)
}
else
{
var x04=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-(4*G-2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))-2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/Math.abs(16*a)+"i"
var x08=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-(4*G-2*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))-2*Math.sqrt(2*D-2*Math.sqrt(A-F))))/Math.abs(16*a)+"i"
}
}
else if(E==0 && D<0 && F>0)
{
var x01=(-2*b+Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D+2*Math.sqrt(F))))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D+2*Math.sqrt(F)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x02=(-2*b+Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D-2*Math.sqrt(F))))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D-2*Math.sqrt(F)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x03=(-2*b-Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D+2*Math.sqrt(F))))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D+2*Math.sqrt(F)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x04=(-2*b-Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D-2*Math.sqrt(F))))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D-2*Math.sqrt(F)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x05=(-2*b+Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D+2*Math.sqrt(F))))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D+2*Math.sqrt(F)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x06=(-2*b+Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D-2*Math.sqrt(F))))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D-2*Math.sqrt(F)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x07=(-2*b-Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D+2*Math.sqrt(F))))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D+2*Math.sqrt(F)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x08=(-2*b-Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(G*G-D-2*Math.sqrt(F))))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(G*G-D-2*Math.sqrt(F)))/Math.abs(16*a)+"i"
}
else if(E==0 && F<0)
{
var x01=(-2*b+Math.sqrt(2*G+Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G+G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F))))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G-Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G+G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x02=(-2*b-Math.sqrt(2*G+Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G+G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F))))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G-Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G+G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x03=(-2*b+Math.sqrt(2*G-Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G-G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F))))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G+Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G-G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x04=(-2*b-Math.sqrt(2*G-Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G-G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F))))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G+Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G-G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x05=(-2*b+Math.sqrt(2*G+Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G+G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F))))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G-Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G+G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x06=(-2*b-Math.sqrt(2*G+Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G+G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F))))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G-Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G+G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x07=(-2*b+Math.sqrt(2*G-Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G-G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F))))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G+Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G-G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x08=(-2*b-Math.sqrt(2*G-Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G-G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F))))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G+Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+2*Math.sqrt(G*G-G*Math.sqrt(2*D+2*Math.sqrt(A-F))+Math.sqrt(A-F)))/Math.abs(16*a)+"i"
}
else if(E!=0 && D>0 && F>0)
{
if(G+Math.sqrt(y1)+Math.sqrt(y2)+Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)>=0)
{
var x01=(-b+Math.sqrt(G+Math.sqrt(y1)+Math.sqrt(y2)+Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/(8*a)
var x05=(-b-Math.sqrt(G+Math.sqrt(y1)+Math.sqrt(y2)+Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/(8*a)
}
else
{
var x01=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-(G+Math.sqrt(y1)+Math.sqrt(y2)+Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/Math.abs(8*a)+"i"
var x05=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-(G+Math.sqrt(y1)+Math.sqrt(y2)+Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/Math.abs(8*a)+"i"
}
if(G-Math.sqrt(y1)-Math.sqrt(y2)+Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)>=0)
{
var x02=(-b+Math.sqrt(G-Math.sqrt(y1)-Math.sqrt(y2)+Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/(8*a)
var x06=(-b-Math.sqrt(G-Math.sqrt(y1)-Math.sqrt(y2)+Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/(8*a)
}
else
{
var x02=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-(G-Math.sqrt(y1)-Math.sqrt(y2)+Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/Math.abs(8*a)+"i"
var x06=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-(G-Math.sqrt(y1)-Math.sqrt(y2)+Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/Math.abs(8*a)+"i"
}
if(G+Math.sqrt(y1)-Math.sqrt(y2)-Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)>=0)
{
var x03=(-b+Math.sqrt(G+Math.sqrt(y1)-Math.sqrt(y2)-Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/(8*a)
var x07=(-b-Math.sqrt(G+Math.sqrt(y1)-Math.sqrt(y2)-Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/(8*a)
}
else
{
var x03=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-(G+Math.sqrt(y1)-Math.sqrt(y2)-Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/Math.abs(8*a)+"i"
var x07=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-(G+Math.sqrt(y1)-Math.sqrt(y2)-Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/Math.abs(8*a)+"i"
}
if(G-Math.sqrt(y1)+Math.sqrt(y2)-Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)>=0)
{
var x04=(-b+Math.sqrt(G-Math.sqrt(y1)+Math.sqrt(y2)-Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/(8*a)
var x08=(-b-Math.sqrt(G-Math.sqrt(y1)+Math.sqrt(y2)-Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/(8*a)
}
else
{
var x04=-b/(8*a)+"+"+Math.sqrt(-(G-Math.sqrt(y1)+Math.sqrt(y2)-Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/Math.abs(8*a)+"i"
var x08=-b/(8*a)+"-"+Math.sqrt(-(G-Math.sqrt(y1)+Math.sqrt(y2)-Math.sign(E)*Math.sqrt(y3)))/Math.abs(8*a)+"i"
}
}
else
{
var x01=(-2*b+Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G+2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D-2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3))))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G-2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G+2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D-2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x02=(-2*b-Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G+2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D-2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3))))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G-2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G+2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D-2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x03=(-2*b+Math.sqrt(2*G-2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G-2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D+2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3))))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G-2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D+2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x04=(-2*b-Math.sqrt(2*G-2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G-2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D+2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3))))/(16*a)+"+"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G-2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D+2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x05=(-2*b+Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G+2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D-2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3))))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G-2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G+2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D-2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x06=(-2*b-Math.sqrt(2*G+2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G+2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D-2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3))))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G-2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G+2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D-2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x07=(-2*b+Math.sqrt(2*G-2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G-2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D+2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3))))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G-2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D+2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3)))/Math.abs(16*a)+"i"
var x08=(-2*b-Math.sqrt(2*G-2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G-2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D+2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3))))/(16*a)+"-"+Math.sqrt(-2*G+2*Math.sqrt(y1)+2*Math.sqrt(G*G-2*G*Math.sqrt(y1)+2*y1-D+2*Math.sign(E)*Math.sqrt(y2*y3)))/Math.abs(16*a)+"i"
}
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