k階導網映射(k-jet mapping)是一種特殊的映射。由給定的映射導出的到導網空間的映射。是指：對給定的映射f，對其定義域上的每個點，對應f在該點的k階導網。
基本介紹
- 中文名：k階導網映射
- 外文名：k-jet mapping
- 領域：數學
- 性質：一種特殊的映射
- 空間：導網空間
- 套用：奇點理論
- 意義：對給定的映射f，對其定義域上的每個點，對應f在該點的k階導網
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概念
k階導網映射(k-jet mapping)是一種特殊的映射。由給定的映射導出的到導網空間的映射。是指：對給定的映射f，對其定義域上的每個點，對應f在該點的k階導網。設M，N是微分流形，f：M→N是無窮次可微映射，可以定義從M到導網叢空間J(M，N)的映射jf：M→J(M，N)如下：
k階導網
k階導網是奇點理論的一個重要概念。函式或映射在一點的直到k階的導數之全體，並把它看做高維空間的一個點。考慮由R映入R的無窮次可微的，並把原點映為原點的映射全體做成的空間，記為C(n，p)。對於f，g∈C(n，p)，若f和g在原點O的所有階≤k的導數都對應相等，則稱f與g在原點處k階等價。C(n，p)中的映射在這個等價關係下的一個等價類就稱為k階導網。映射f的等價類就稱為f在點O的k階導網，記為jf(0)。在這個等價關係下，C(n，p)中的映射的所有等價類做成的集合記為J(n，p)。在R和R里選取定了坐標系之後，取f在點O的直到k階導數的值作為jf(0)的坐標，於是，J(n，p)也是歐氏空間，稱為k階導網空間。特別地，對映射芽f∈C(n，p)，f的一階導網jf(0)就是f在原點處的雅可比矩陣，所以一階導網空間J(n，p)就可以看做是由n×p矩陣的全體做成的空間L(n，p)。
導網叢
導網叢是奇點理論的一個重要概念。指流形之間的所有可能的映射在各點的直到某階導數之全體所形成的空間。設M，N是兩個微分流形，f，g：M→N是無窮次可微的映射，p∈M，k≥0是一整數，稱f與g在點p為k階等價，是指滿足下面兩個條件：
1.f(p)=g(p)=q∈N。
2.任意選取點p與點q=f(p)的局部坐標系，對於選取的局部坐標系，f和g的所有階≤k的導數在點p的值都對應地相等。
這個條件與點p和點q=f(p)的局部坐標系的選取無關。常以記號fg記f與g在p點k階等價。於是，k階等價是一個等價關係。考慮映射集合：{f|f：M→N，f(p)=q，f無窮次可微}，
這個集合在k階等價這個等價關係下分成一些等價類， 由這些等價類做成的空間記為J(M，N)(p，q)，若
奇點理論
一門新興的數學學科，它處在拓撲學、代數幾何、微分幾何、代數學、分析學等眾多數學領域的交界處。追溯其歷史淵源，有20世紀30年代，莫爾斯(Morse，M.)的臨界點理論；20世紀40年代，惠特尼(Whitney，H.)的有關微分流形嵌入、浸入的奇點的工作；以及龐特里亞金(Понтрягин，Л.С.)與惠特尼等人的與示性類有關的奇點方面的工作。這是奇點理論的萌芽時期。1955年，惠特尼關於平面映到平面的映射的奇點的工作，標誌著奇點理論開始作為一個獨立的數學分支登上了數學舞台。1956年，托姆(Thom，R.)的論文《可微映射的奇點》，對奇點理論做了高度的概括，為其以後的發展提出了綱領式的描述；1960年，他在波恩做了系列演講，使其綱領式的描述更加具體化。此後，奇點理論得到了蓬勃的發展，一方面奇點理論本身取得了重大進展，如瑪瑟(Mather，J.N.)關於穩定性方面與阿諾爾德(Арнольд，В.И.)關於奇點分類方面的工作；另一方面是奇點理論在自然科學中的套用也取得了重大的成就，這就是20世紀60年代末托姆創立的突變理論。
