Var(x)

Var(x)定義為機率密度函式f的二階矩，給出了x的方差。方差（英語：Variance），套用數學里的專有名詞。在機率論和統計學中，一個隨機變數的方差描述的是它的離散程度，也就是該變數離其期望值的距離。一個實隨機變數的方差也稱為它的二階矩或二階中心動差，恰巧也是它的二階累積量。這裡把複雜說白了，就是將各個誤差將之平方（而非取絕對值，使之肯定為正數），相加之後再除以總數，透過這樣的方式來算出各個數據分布、零散（相對中心點）的程度。繼續延伸的話，方差的正平方根稱為該隨機變數的標準差（此為相對各個數據點間）。

基本介紹

• 中文名：方差
• 外文名：Variance

定義

設X為服從分布F的隨機變數， 如果E[X]是隨機變數X的期望值（平均數μ=E[X]）

隨機變數X或者分布F的方差為：

這個定義涵蓋了連續、離散、或兩者都有的隨機變數。方差亦可當作是隨機變數與自己本身的協方差(或協方差)：

方差典型的標記有Var(X),　 ,　或是{\displaystyle \sigma ^{2}}，其表示式可展開成為：

上述的表示式可記為"平方的期望減掉期望的平方"。

離散隨機變數

如果隨機變數X是具有機率質量函式的離散機率分布x₁↦p₁,...,x_n↦p_n，則：

此處 是其期望值, i.e.

當X為有N個相等機率值的平均分布：

N個相等機率值的方差亦可以點對點間的方變數表示為：

連續型隨機變數

如果隨機變數X是連續分布，並對應至機率密度函式f(x)，則其方差為：

此處 是一期望值，

且此處的積分為以X為範圍的x定積分（definite integral）

如果一個連續分布不存在期望值，如柯西分布（Cauchy distribution），也就不會有方差（不予定義）。

特性

方差不會是負的，因為次方計算為正的或為零：

一個常數隨機變數的方差為零，且當一個資料集的方差為零時，其內所有項目皆為相同數值：

方差不變於定位參數的變動。也就是說，如果一個常數被加至一個數列中的所有變數值，此數列的方差不會改變：

如果所有數值被放大一個常數倍，方差會放大此常數的平方倍：

兩個隨機變數合的方差為：

此數Cov(., .)代表協方差。

對於 N個隨機變數的總和：

在樣本空間Ω上存在有限期望和方差的隨機變數構成一個希爾伯特空間： L（Ω, dP），不過這裡的內積和長度跟協方差，標準差還是不大一樣。 所以，我們得把這個空間“除”常變數構成的子空間，也就是說把相差一個常數的 所有原來那個空間的隨機變數做成一個等價類。這還是一個新的無窮維線性空間， 並且有一個從舊空間內積誘導出來的新內積，而這個內積就是協方差。

一般化

如果X是一個向量其取值範圍在實數空間R，並且其每個元素都是一個一維隨機變數，我們就把X稱為隨機向量。隨機向量的方差是一維隨機變數方差的自然推廣，其定義為E[(X− μ)(X− μ)]，其中μ = E(X)，X是X的轉置。這個方差是一個非負定的方陣，通常稱為協方差矩陣。

如果X是一個複數隨機變數的向量（向量中每個元素均為複數的隨機變數），那么其方差定義則為E[(X− μ)(X− μ)]，其中X是X的共軛轉置向量或稱為埃爾米特向量。根據這個定義，方差為實數。