《Monge-Ampere型方程及其幾何套用》是依託中國科學院精密測量科學與技術創新研究院，由黃勇擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：Monge-Ampere型方程及其幾何套用
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：黃勇
- 依託單位：中國科學院精密測量科學與技術創新研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
微分幾何中許多重要問題往往是通過對Monge-Ampere型方程解的存在性和唯一性的研究而得以解決，這涉及解的先驗估計和正則性等。本項目主要考慮Minkowski空間中預定Weingarten曲率超曲面的存在性和唯一性問題，這歸結為研究一類完全非線性橢圓方程的可解性，邊值問題的兼容性等。這個問題一直公開而不能解決的關鍵在於缺少二階導數的先驗估計，我們將研究初等對稱多項式的凹性來克服它。我們也研究一些具有特殊幾何性質（比如凸）的超曲面的存在性。 通過結合Minkowski空間中特殊超曲面的性質來研究預定曲率函式的合理性， 從而改善預定曲率函式的條件來獲得超曲面的存在性。 關於唯一性問題我們將藉助一些幾何思想對相應的非緊超曲面進行分類； 最後我們用偏微分方程的技巧來探索具體Monge-Ampere方程的均勻化，其動機主要來源於Caffarelli和Lion的完全非線性方程均勻化理論。
結題摘要
在青年基金的資助下, 項目主持人主要系統地學習和研究了與Monge-Ampere型方程相關的Minkowski空間預定曲率問題、解的長時間幾何性質、 Minkowski問題及Monge-Ampere方程的均勻化問題。 其中對於預定曲率在Minkowski空間的存在性, 探索大量的C^2估計技巧並取得了一定進展， 該方面技巧還被用於探索預定曲率超曲面存在性問題當預定曲率依賴法向量時該問題的C^2估計。同時也探索了L_p Minkowski問題解的正則性等. 本項目按計畫完成所設課題研究, 這較好地完善和提升了主持人的研究能力和學術影響.
