最大期望算法

最大期望算法（Expectation-Maximization algorithm, EM），或Dempster-Laird-Rubin算法，是一類通過疊代進行極大似然估計（Maximum Likelihood Estimation, MLE）的最佳化算法，通常作為牛頓疊代法（Newton-Raphson method）的替代用於對包含隱變數（latent variable）或缺失數據（incomplete-data）的機率模型進行參數估計。

EM算法的標準計算框架由E步（Expectation-step）和M步（Maximization step）交替組成，算法的收斂性可以確保疊代至少逼近局部極大值。EM算法是MM算法（Minorize-Maximization algorithm）的特例之一，有多個改進版本，包括使用了貝葉斯推斷的EM算法、EM梯度算法、廣義EM算法等。

由於疊代規則容易實現並可以靈活考慮隱變數，EM算法被廣泛套用於處理數據的缺測值，以及很多機器學習（machine learning）算法，包括高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）和隱馬爾可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）的參數估計。

基本介紹

• 中文名：最大期望算法
• 外文名：Expectation Maximization algorithm, EM
• 類型：最佳化算法
• 提出者：Arthur Dempster，Nan Laird，
•  ：Donald Rubin 等
• 提出時間：1977年
• 套用：數據分析，機器學習

歷史

對EM算法的研究起源於統計學的誤差分析（error analysis）問題。1886年，美國數學家Simon Newcomb在使用高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）解釋觀測誤差的長尾效應時提出了類似EM算法的疊代求解技術。在極大似然估計（Maximum Likelihood Estimation, MLE）方法出現後，英國學者Anderson McKendrick在1926年發展了Newcomb的理論並在醫學樣本中進行了套用。1956年，Michael Healy和Michael Westmacott提出了統計學試驗中估計缺失數據的疊代方法，該方法被認為是EM算法的一個特例。1970年，B. J. N. Blight使用MLE對指數族分布的I型刪失數據（Type I censored data）進行了討論。Rolf Sundberg在1971至1974年進一步發展了指數族分布樣本的MLE並給出了疊代計算的完整推導。

EM算法的正式提出來自美國數學家Arthur Dempster、Nan Laird和Donald Rubin，其在1977年發表的研究對先前出現的作為特例的EM算法進行了總結並給出了標準算法的計算步驟，EM算法也由此被稱為Dempster-Laird-Rubin算法。1983年，美國數學家吳建福（C.F. Jeff Wu）給出了EM算法在指數族分布以外的收斂性證明。

此外，在二十世紀60-70年代對隱馬爾可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）的研究中，Leonard E. Baum提出的基於MLE的HMM參數估計方法，即Baum-Welch算法（Baum-Welch algorithm）也是EM算法的特例之一。

理論

EM算法是基於極大似然估計（Maximum Likelihood Estimation, MLE）理論的最佳化算法。給定相互獨立的觀測數據 ，和包含隱變數 、參數 的機率模型 ，根據MLE理論， 的最優單點估計在模型的似然取極大值時給出： 。考慮隱變數，模型的似然有如下展開：

隱變數可以表示缺失數據，或機率模型中任何無法直接觀測的隨機變數，式中第一行是隱變數為連續變數的情形，第二行是隱變數為離散變數的情形，積分/求和的部分也被稱為 的聯合似然（joint liklihood）。不失一般性，這裡按離散變數為例進行說明。由MLE的一般方法，對上式取自然對數後可得：

上述展開考慮了觀測數據的相互獨立性。引入與隱變數有關的機率分布，即隱分布（可認為隱分布是隱變數對觀測數據的後驗，參見標準算法的E步推導），由Jensen不等式，觀測數據的對數似然有如下不等關係：

當 使不等式右側取全局極大值時，所得到的 至少使不等式左側取局部極大值。因此，將不等式右側表示為 後，EM算法有如下求解目標：

式中的 等效於MM算法（Minorize-Maximization algorithm）中的代理函式（surrogate function），是MLE最佳化問題的下限，EM算法通過最大化代理函式逼近對數似然的極大值。

算法

標準算法

計算框架

EM標準算法是一組疊代計算，疊代分為兩部分，即E步和M步，其中E步“固定”前一次疊代的 ，求解 使 取極大值；M步使用 求解 使 取極大值。EM算法在初始化模型參數後開始疊代，疊代中E步和M步交替進行。由於EM算法的收斂性僅能確保局部最優，而不是全局最優。因此通常對EM算法進行隨機初始化並多次運行，選擇對數似然最大的疊代輸出結果。以下給出EM算法E步和M步的推導。

EM的計算框架：對數似然（藍），E步（綠），M步（實心點）

1. E步（Expectation-step, E-step）

由EM算法的求解目標可知，E步有如下最佳化問題：

考慮先前的不等關係，這裡首先對 進行展開：

注意到，推導上式時考慮了：。由貝葉斯定理（Bayes' theorem），上式可化為：

式中為Kullback-Leibler散度（Kullback-Leibler divergence, KL）或相對熵（relative entropy），表示吉布斯自由能（Gibbs free energy），即由Jensen不等式得到的代理函式等價於隱分布的自由能。求解的極大值等價於求解隱分布自由能的極大值，即隱分布對隱變數後驗的KL散度的極小值。由KL散度的性質可知，其極小值在兩個機率分布相等時取得，因此當時，取極大值，對EM算法的第次疊代，E步有如下計算：

E步：最佳化代理損失（左），原最佳化目標（右）

2. M步（Maximization step, M-step）

在E步的基礎上，M步求解模型參數使 取極大值。該極值問題的必要條件是 ：

式中 表示聯合似然 對隱分布 的數學期望。在 為凸函式時（例如隱變數和觀測服從指數族分布），上述推導也是充分的。由此得到M步的計算：

計算步驟

將統計模型帶入EM算法的計算框架即可得到其計算步驟。這裡以高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）為例進行說明。由GMM的一般定義可知，其似然和參數有如下表示：

根據學習數據的維度，式中 表示均值為 ，方差/協方差為 的常態分配/聯合常態分配。 為常態分配的混合比例， 為參與混合的分布總數。定義與觀測數據有關的隱變數： ，令隱分布 表示GMM聚類的軟指定（soft assignment），即每個數據來源於第 個分布的機率，則隱變數有離散取值 。

將上述內容帶入EM算法的計算框架後，E步有如下展開：

GMM中有： ，因此E步的計算步驟為：

M步通過E步輸出的隱變數後驗計算模型參數，在GMM中，M步計算框架的最佳化問題有如下表示：

不失一般性，帶入單變數常態分配的解析形式後對模型參數求偏導數可得M步的計算步驟：

根據以上計算步驟，這裡給出一個在Python 3環境使用EM算法求解GMM的編程實現：

# 導入模組import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.stats import multivariate_normal# 構建測試數據N = 200; pi1 = np.array([0.6, 0.3, 0.1])mu1 = np.array([[0,4], [-2,0], [3,-3]])sigma1 = np.array([[[3,0],[0,0.5]], [[1,0],[0,2]], [[.5,0],[0,.5]]])gen = [np.random.multivariate_normal(mu, sigma, int(pi*N)) for mu, sigma, pi in zip(mu1, sigma1, pi1)]X = np.concatenate(gen)# 初始化: mu, sigma, pi = 均值, 協方差矩陣, 混合係數theta = {}; param = {}theta['pi'] = [1/3, 1/3, 1/3]            # 均勻初始化theta['mu'] = np.random.random((3, 2))   # 隨機初始化theta['sigma'] = np.array([np.eye(2)]*3) # 初始化為單位正定矩陣param['k'] = len(pi1); param['N'] = X.shape[0]; param['dim'] = X.shape[1]# 定義函式def GMM_component(X, theta, c):    '''    由聯合常態分配計算GMM的單個成員    '''    return theta['pi'][c]*multivariate_normal(theta['mu'][c], theta['sigma'][c, ...]).pdf(X)def E_step(theta, param):    '''    E步：更新隱變數機率分布q(Z)。    '''    q = np.zeros((param['k'], param['N']))    for i in range(param['k']):        q[i, :] = GMM_component(X, theta, i)    q /= q.sum(axis=0)    return qdef M_step(X, q, theta, param):    '''    M步：使用q(Z)更新GMM參數。    '''    pi_temp = q.sum(axis=1); pi_temp /= param['N'] # 計算pi    mu_temp = q.dot(X); mu_temp /= q.sum(axis=1)[:, None] # 計算mu    sigma_temp = np.zeros((param['k'], param['dim'], param['dim']))    for i in range(param['k']):        ys = X - mu_temp[i, :]        sigma_temp[i] = np.sum(q[i, :, None, None]*np.matmul(ys[..., None], ys[:, None, :]), axis=0)    sigma_temp /= np.sum(q, axis=1)[:, None, None] # 計算sigma    theta['pi'] = pi_temp; theta['mu'] = mu_temp; theta['sigma'] = sigma_temp    return thetadef likelihood(X, theta):    '''    計算GMM的對數似然。    '''    ll = 0    for i in range(param['k']):        ll += GMM_component(X, theta, i)    ll = np.log(ll).sum()    return lldef EM_GMM(X, theta, param, eps=1e-5, max_iter=1000):    '''    高斯混合模型的EM算法求解        theta: GMM模型參數; param: 其它係數; eps: 計算精度; max_iter: 最大疊代次數        返回對數似然和參數theta，theta是包含pi、mu、sigma的Python字典    '''    for i in range(max_iter):        ll_old = 0        # E-step        q = E_step(theta, param)        # M-step        theta = M_step(X, q, theta, param)        ll_new = likelihood(X, theta)        if np.abs(ll_new - ll_old) < eps:            break;        else:            ll_old = ll_new    return ll_new, theta# EM算法求解GMM，最大疊代次數為1e5ll, theta2 = EM_GMM(X, theta, param, max_iter=10000)# 由theta計算聯合常態分配的機率密度L = 100; Xlim = [-6, 6]; Ylim = [-6, 6]XGrid, YGrid = np.meshgrid(np.linspace(Xlim[0], Xlim[1], L), np.linspace(Ylim[0], Ylim[1], L))Xout = np.vstack([XGrid.ravel(), YGrid.ravel()]).TMVN = np.zeros(L*L)for i in range(param['k']):    MVN += GMM_component(Xout, theta, i)MVN = MVN.reshape((L, L))# 繪製結果plt.plot(X[:, 0], X[:, 1], 'x', c='gray', zorder=1)plt.contour(XGrid, YGrid, MVN, 5, colors=('k',), linewidths=(2,))

改進算法

基於貝葉斯推斷（Bayesian inference）的EM算法

_{參見：變分貝葉斯EM}

在MLE理論下，EM算法僅能給出模型參數 的單點估計，引入貝葉斯推斷方法後，EM算法能夠給出模型參數的後驗（posterior）分布避免過度擬合，其中常見的例子是極大後驗估計（Maximum A Posteriori estimation, MAP）的EM算法。MAP-EM在標準EM算法的基礎上引入了模型參數的先驗（prior）：，此時MAP-EM的最佳化目標由模型的似然轉變為後驗，其離散形式可表示為：

類比標準EM算法，考慮隱分布後，由Jensen不等式可得到對數後驗的代理函式，即隱變數的自由能：

由此可得MAP-EM的疊代步驟：

MAP-EM在Dempster et al. (1977)就已被提出，但不同於標準EM，MAP-EM的隱分布是隱變數和模型參數的聯合分布，其對應的隱變數後驗往往沒有解析形式。在貝葉斯體系下，求解該隱變數後驗的方法包括馬爾可夫鏈蒙特卡羅（Markov Chain Monte Carlo, MCMC）和變分貝葉斯估計（Variational Bayesian Inference, VBI），對前者，可證明由MCMC求解的MAP-EM等價於吉布斯採樣（Gibbs sampling）算法；對後者，由VBI求解的MAP-EM被稱為變分貝葉斯EM算法（Variational Bayesian EM algorithm, VBEM）。

VBEM使用平均場理論（Mean Field Theory, MFT）將隱分布近似為其在各個維度上分布的乘積：並由此得到以下疊代步驟：

使用VBEM的常見例子是語言建模問題中的隱含狄利克雷分布（latent dirichlet allocation）。

EM梯度算法（EM gradient algorithm）和廣義EM算法（Generalized EM algorithm, GEM）

_{參見：廣義期望最大算法}

EM算法的M步通過計算偏導數求解代理函式的極大值，EM梯度算法（EM gradient algorithm）將該過程替換為牛頓疊代法（Newton-Raphson method）以加速疊代收斂。更進一步地，當代理函式 不是凸函式或無法有效地對 求解極大值時，可以使用廣義EM算法（GEM）。GEM有兩種實現方式，一是在M步使用非線性最佳化策略，例如共軛梯度算法（conjugate gradients algorithm），二是將原M步的求導計算分解為多個條件極值問題逐個計算模型參數，後者也被稱為最大條件期望算法（Expectation Conditional Maximization algorithm, ECM）。

EM算法的E步也可以按ECM的方法分解為條件極值問題，由先前推導可知，E步的最佳化問題僅有一個全局極大值，即隱分布 ，因此在E步將MLE的最佳化目標：聯合似然 對觀測樣本按因子展開並對每個展開分別使用EM算法，可以得到同樣的最佳化結果。對於M步，如果觀測樣本來自指數族分布，則M步也可以在每次疊代僅對有限個樣本的展開進行。在指數族問題中使用EM算法的上述推廣，可以避免在疊代中反覆處理整個觀測樣本集，降低計算開銷。

α-EM算法（α-EM algorithm）

α-EM算法是對標準算法的隱變數機率分布引入權重係數 的改進版本。標準的EM算法是α-EM算法在 時的特例。給定恰當的超參數 ，α-EM能夠比標準EM算法更快收斂。有研究將α-EM算法套用於神經網路的機率學習和隱馬爾可夫模型的參數估計。

性質

收斂性與穩定性：EM算法必然收斂於對數似然的局部極大值或鞍點（saddle point），其證明考慮如下不等關係：

由上式可知EM算法得到的對數似然是單調遞增的，即從 次疊代到 次疊代，EM算法至少能維持當前的最佳化結果，不會向極大值的相反方向運動，因此EM算法具有數值穩定性（numerical stablility）。上述不等關係也被用於EM算法疊代終止的判定，給定計算精度 ，當 時疊代結束。EM算法收斂性的具體證明參見Wu (1983)。

計算複雜度：在E步具有解析形式時，EM算法是一個計算複雜度和存儲開銷都很低的算法，可以在很小的計算資源下完成計算。在E步不具有解析形式或使用MAP-EM時，EM算法需要結合其它數值方法，例如變分貝葉斯估計或MCMC對隱變數的後驗分布進行估計，此時的計算開銷取決於問題本身。

與其它算法的比較：相比於梯度算法，例如牛頓疊代法和隨機梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD），EM算法的優勢是其求解框架可以加入求解目標的額外約束，例如在高斯混合模型的例子中，EM算法在求解協方差時可以確保每次疊代的結果都是正定矩陣。EM算法的不足在於其會陷入局部最優，在高維數據的問題中，局部最優和全局最優可能有很大差異。

套用

EM算法及其改進版本被用於機器學習算法的參數求解，常見的例子包括高斯混合模型（Gaussian Mixture Model, GMM）、機率主成份分析（probabilistic Principal Component Analysis）、隱馬爾可夫模型（Hidden Markov Model, HMM）等非監督學習算法。EM算法可以給出隱變數，即缺失數據的後驗 ，因此在缺失數據問題（incomplete-data probelm）中有套用。