點積

在數學中，數量積（dot product; scalar product，也稱為點積）是接受在實數R上的兩個向量並返回一個實數值標量的二元運算。它是歐幾里得空間的標準內積。

兩個向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的點積定義為：

a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。

使用矩陣乘法並把（縱列）向量當作n×1 矩陣，點積還可以寫為：

a·b=a^T*b，這裡的a^T指示矩陣a的轉置。

基本介紹

• 中文名：數量積
• 外文名：dot product; scalar product
• 別名：標量積、點積、內積、向量的積
• 運算類型：二元運算
• 點積的三個值：u、v、u,v夾角的餘弦
• 點積的值：u,v的點積=|u||v|cos<u,v>
• 套用學科：線性代數

定義

點積有兩種定義方式：代數方式和幾何方式。通過在歐氏空間中引入笛卡爾坐標系，向量之間的點積既可以由向量坐標的代數運算得出，也可以通過引入兩個向量的長度和角度等幾何概念來求解。

廣義定義

在一個向量空間V中，定義在 上的正定對稱雙線性形式函式即是V的數量積，而添加有一個數量積的向量空間即是內積空間。

代數定義

設二維空間內有兩個向量 和 ，定義它們的數量積（又叫內積、點積）為以下實數：

更一般地，n維向量的內積定義如下：

幾何定義

設二維空間內有兩個向量 和 ， 和 表示向量a和b的大小，它們的夾角為 ，則內積定義為以下實數：

該定義只對二維和三維空間有效。

這個運算可以簡單地理解為：在點積運算中，第一個向量投影到第二個向量上（這裡，向量的順序是不重要的，點積運算是可交換的），然後通過除以它們的標量長度來“標準化”。這樣，這個分數一定是小於等於1的，可以簡單地轉化成一個角度值。

定義的等價性

以三維空間為例子。

①幾何定義推導代數定義

設 ， ，根據向量坐標的意義可知

根據點乘的分配律得

又

，

所以

注意：點乘的分配律在空間內可通過幾何證明，無需藉助向量關係，因此不屬於循環推導。

點乘分配律的幾何證明：

(a+b)·c=a·c+b·c

c=0時上式是成立的；

c≠0時，(a+b)·c=|c|*Prjc(a+b)=|c|(Prjc(a)+Prjc(b))=|c|*Prjc(a)+|c|*Prjc(b)=a·c+b·c

　　

②代數定義推導幾何定義

設 ， ，它們的終點分別為 和 ，原點為O， 夾角為 。則

在△OAB中，由余弦定理得：

利用距離公式對這個等式稍作處理，得

去括弧、合併得

注意：餘弦定理和距離公式亦無需向量知識。

點積的值

u的大小、v的大小、u,v夾角的餘弦。在u,v非零的前提下，點積如果為負，則u,v形成的角大於90度；如果為零，那么u,v垂直；如果為正，那么u,v形成的角為銳角。

點積

兩個單位向量的點積得到兩個向量的夾角的cos值，通過它可以知道兩個向量的相似性，利用點積可判斷一個多邊形是面向攝像機還是背向攝像機。

向量的點積與它們夾角的餘弦成正比，因此在聚光燈的效果計算中，可以根據點積來得到光照效果，如果點積越大，說明夾角越小，則物體離光照的軸線越近，光照越強。

運算律

交換律：

分配律：

結合律： ，其中m是實數。

套用

平面向量的數量積a·b是一個非常重要的概念，利用它可以很容易地證明平面幾何的許多命題，例如勾股定理、菱形的對角線相互垂直、矩形的對角線相等等。如證明：

（1）勾股定理：　Rt△ABC中，∠C=90°，則|CA|²+|CB|²=|AB|²。

∵AB = CB-CA

∴AB²=(CB-CA)²= CB·CB-2CA·CB+CA·CA

又∵ ∠C=90°，有CA⊥CB，於是CA·CB=0

∴ AB²=AC²+BC²

（2）菱形對角線相互垂直：菱形ABCD中,點O為對角線AC、BD的交點，求證AC⊥BD。

設 |AB|=|BC|=|CD|=|DA|=a

∵AC=(AB+BC)，BD=(BC+CD)

∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=a²cos(π-α)+a²-a²+a²cosα

又∵ cosα=-cos(π-α)

∴AC·BD=(AB+BC)·(BC+CD)=0

∴AC⊥BD

在生產生活中，點積同樣套用廣泛。利用點積可判斷一個多邊形是否面向攝像機還是背向攝像機。向量的點積與它們夾角的餘弦成正比，因此在聚光燈的效果計算中，可以根據點積來得到光照效果，如果點積越大，說明夾角越小，則物理離光照的軸線越近，光照越強。物理中，點積可以用來計算合力和功。若b為單位矢量，則點積即為a在方向b的投影，即給出了力在這個方向上的分解。功即是力和位移的點積。計算機圖形學常用來進行方向性判斷，如兩矢量點積大於0，則它們的方向朝向相近；如果小於0，則方向相反。矢量內積是人工智慧領域中的神經網路技術的數學基礎之一，此方法還被用於動畫渲染（Animation-Rendering）。

線性變換中點積的意義：

根據點積的代數公式：a·b=a1b1+a2b2+……+anbn，假設a為給定權重向量，b為特徵向量，則a·b其實為一種線性組合，函式F（a·b）則可以構建一個基於a·b+c = 0 （c為偏移）的某一超平面的線性分類器，F是個簡單函式，會將超過一定閾值的值對應到第一類，其它的值對應到第二類。