高等數學（下冊）(高等數學（下冊）：代鴻等編著)

《高等數學（下冊）》是2015年清華大學出版社出版的圖書，作者是代鴻、孔昭毅、黨慶一、趙潤峰。

基本介紹

• 書名：高等數學（下冊）
• 作者：代鴻、孔昭毅、黨慶一、趙潤峰
• ISBN：9787302389293
• 定價：28元
• 出版社：清華大學出版社
• 出版時間：2015-1-20

圖書介紹

本書分為上、下兩冊.下冊內容包括:微分方程，向量代數與空間解析幾何，多元函式微分法及其套用，重積分和曲線積分，無窮級數共5章.
全書弱化了定理證明，在例題及習題的選取上突出了套用性，強化了高等數學課程與後續專業課程的聯繫，便於教學和自學.本書可作為普通高等學校（少學時）、獨立學院、成教學院、民辦學院本科非數學專業的教材.本書還突出了高等數學在經濟中的套用，經濟類本科院校同樣適用.

前言

高等數學課程是高等學校的一門重要基礎課程，它提供了各專業後續學習所必需的大學數學知識，更是工程技術人員必須掌握的一門重要基礎課程.當今社會，數學的思想、理論與方法已被廣泛地套用於自然科學、工程技術、企業管理甚至人文學科之中，“數學是高新技術的本質”這一說法，已被人們所接受.

為了適應高等教育的發展，根據國家教委對培養套用型本科人才的要求，重慶大學城市科技學院本著“以套用為目的，以必需夠用為度”的原則，對課程內容體系進行了整體最佳化，強化了高等數學與專業課程的聯繫，使之更側重於培養學生的套用能力，以適應培養套用型本科人才的培養目標.學院組織了具有豐富教學經驗的一線教師編寫講義並試用，這就是本書的雛形.在汲取國內外各種版本同類教材優點的基礎上，編者還將教學實踐中積累的一些有益的經驗融入了其中，並在教材中加入了一定數量的提高題，來滿足部分考研學生的需要.

本書由代鴻和孔昭毅擔任主編.第7章由趙潤峰編寫；第8章由代鴻和黨慶一共同編寫；第9章由代鴻編寫；第10章由孔昭毅編寫；第11章由黨慶一編寫.全書由重慶大學易正俊審定，何傳江、王新質、王曉宏、張心明等老師也給予了寶貴的意見，在此一併致謝.

由於編者水平有限，書中缺點和錯誤在所難免，懇請廣大同行、讀者批評指正.

編者

2014年11月

圖書目錄

第7章微分方程1

7.1微分方程的基本概念1

7.1.1引例1

7.1.2微分方程定義2

習題715

7.2可分離變數微分方程5

7.2.1可分離變數微分方程定義及解法5

7.2.2可分離變數微分方程的套用6

習題729

7.3齊次型微分方程9

7.3.1齊次型微分方程定義及解法9

7.3.2可化為齊次型微分方程12

習題7314

7.4一階線性微分方程14

7.4.1一階線性微分方程的定義14

7.4.2一階非齊次線性微分方程的解法15

7.4.3伯努利方程18

習題7420

7.5可降階高階微分方程21

7.5.1y″=f(x)型21

7.5.2y″=f(x，y′)型22

7.5.3y″=f(y，y′)型23

習題7526

7.6高階線性微分方程26

7.6.1二階齊次線性微分方程解的結構27

7.6.2二階非齊次線性微分方程解的結構28

習題7629高等數學

（下 冊）目錄

[1][2]7.7二階常係數齊次線性微分方程30

習題7733

7.8二階常係數非齊次線性微分方程34

7.8.1f(x)=Pm(x)eλx型34

7.8.2f(x)=eλx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型37

習題7838

總複習題七39

第8章向量代數與空間解析幾何41

8.1向量及其線性運算41

8.1.1向量的概念41

8.1.2向量的線性運算42

8.1.3向量的坐標表示43

習題8146

8.2數量積和向量積46

8.2.1兩向量的數量積46

8.2.2兩向量的向量積47

習題8249

8.3平面及其方程49

8.3.1平面的點法式方程49

8.3.2平面的一般式方程50

8.3.3兩平面的位置關係52

8.3.4點到平面的距離53

習題8354

8.4空間直線及其方程54

8.4.1空間直線的點向式方程及參數方程54

8.4.2空間直線的一般式方程56

8.4.3兩直線的位置關係58

8.4.4直線與平面的位置關係58

8.4.5平面束59

習題8460

8.5曲面及其方程61

8.5.1曲面方程的概念61

8.5.2簡單曲面61

8.5.3常見的二次曲面64

習題8566

8.6空間曲線及其方程66

8.6.1空間曲線的一般式方程66

8.6.2空間曲線的參數方程67

8.6.3空間曲線在坐標面上的投影67

習題8668

總複習題八69

第9章多元函式微分法及其套用71

9.1多元函式的基本概念71

9.1.1平麵點集71

9.1.2n維空間73

9.1.3多元函式的概念73

9.1.4多元函式的極限75

9.1.5多元函式的連續性77

9.1.6多元函式在有界閉區域上的連續性79

習題9180

9.2偏導數80

9.2.1偏導數的定義及其計算方法80

9.2.2偏導數的幾何意義83

9.2.3偏導數與連續之間的關係83

9.2.4高階偏導數84

習題9285

9.3全微分86

9.3.1全微分的定義86

9.3.2可微的條件87

9.3.3全微分在近似計算中的套用90

習題9391

9.4多元複合函式的求導法則91

9.4.1多元複合函式求導91

9.4.2多元複合函式的高階導數94

9.4.3全微分形式不變性95

習題9496

9.5隱函式求導法97

9.5.1一個方程F(x,y)=0的情形97

9.5.2一個方程F(x,y,z)=0的情形98

9.5.3方程組的情形99

習題95101

9.6多元函式的極值及其求法101

9.6.1多元函式的極值102

9.6.2多元函式的最值104

9.6.3條件極值105

習題96109

9.7多元函式微分學的幾何套用109

9.7.1空間曲線的切線與法平面109

9.7.2曲面的切平面與法線112

9.7.3全微分的幾何意義114

習題97115

總複習題九116

第10章重積分和曲線積分117

10.1二重積分的概念與性質117

10.1.1二重積分概念的背景117

10.1.2二重積分的概念119

10.1.3二重積分的性質120

習題101122

10.2二重積分的計算法123

10.2.1利用直角坐標計算二重積分123

10.2.2利用極坐標計算二重積分128

習題102133

10.3二重積分的套用135

10.3.1曲面的面積135

10.3.2質心138

10.3.3轉動慣量139

習題103140

10.4三重積分140

10.4.1三重積分概念的背景140

10.4.2三重積分的概念141

10.4.3三重積分的計算141

習題104147

10.5對弧長的曲線積分148

10.5.1對弧長的曲線積分概念的背景148

10.5.2對弧長的曲線積分的概念與性質148

10.5.3對弧長的曲線積分的計算法149

習題105152

10.6對坐標的曲線積分152

10.6.1對弧長的曲線積分概念的背景152

10.6.2對弧長的曲線積分的概念與性質153

10.6.3對弧長的曲線積分的計算法155

10.6.4兩類曲線積分之間的關係159

習題106160

10.7格林公式及其套用162

10.7.1格林公式162

10.7.2平面上曲線積分與路徑無關的條件164

習題107167

總複習題十168

第11章無窮級數171

11.1常數項級數171

11.1.1常數項級數的基本概念171

11.1.2無窮級數的基本性質174

習題111176

11.2正項級數176

習題112183

11.3一般項級數184

11.3.1交錯級數及其審斂法184

11.3.2絕對收斂與條件收斂185

習題113187

11.4冪級數188

11.4.1函式項級數的基本概念188

11.4.2冪級數的概念189

11.4.3冪級數的性質194

11.4.4冪級數的運算196

習題114196

11.5函式展開成冪級數197

11.5.1泰勒級數197

11.5.2函式展開成冪級數的方法198

11.5.3函式的冪級數展開式的套用201

習題115203

11.6傅立葉級數204

11.6.1三角級數204

11.6.2以2π為周期的函式的傅立葉級數205

11.6.3以2l為周期的函式的傅立葉級數210

習題116212

總複習題十一213

附錄C二階和三階行列式簡介216

附錄D空間坐標系簡介219

習題答案與提示227第1章函式的極限與連續1

1.1函式1

1.1.1基本概念1

1.1.2函式3

1.1.3初等函式8

習題119

1.2數列的極限10

1.2.1數列的概念10

1.2.2數列的極限11

1.2.3收斂數列的性質14

習題1217

1.3函式的極限18

1.3.1當自變數趨於無窮大時函式的極限18

1.3.2自變數趨於有限值時函式的極限20

1.3.3函式極限的性質24

習題1325

1.4無窮小與無窮大26

1.4.1無窮小26

1.4.2無窮大28

習題1430

1.5極限運算法則31

1.5.1極限的四則運算法則31

1.5.2複合函式的極限運算法則35

習題1536

1.6兩個重要極限37

1.6.1limx→0sinxx=137高等數學

（上 冊）目錄

[1][2]1.6.2limx→∞1+1xx=e39

習題1642

1.7無窮小的比較43

習題1746

1.8函式的連續與間斷46

1.8.1函式的連續性46

1.8.2連續函式與連續區間48

1.8.3函式的間斷點50

習題1852

1.9連續函式的運算和性質53

1.9.1連續函式的運算53

1.9.2初等函式的連續性54

1.9.3閉區間上連續函式的性質57

習題1959

總複習題一60

第2章導數與微分63

2.1導數的概念63

2.1.1引例63

2.1.2導數的定義64

2.1.3可導與連續的關係68

習題2170

2.2函式的求導法則70

2.2.1四則運算的求導法則70

2.2.2反函式的求導法則73

2.2.3複合函式的求導法則74

2.2.4基本求導法則與導數公式77

習題2278

2.3高階導數80

2.3.1高階導數的定義80

2.3.2高階導數的運算法則82

習題2383

2.4隱函式和參數方程確定的函式導數及相關變化率84

2.4.1隱函式的導數84

2.4.2對數求導法則85

2.4.3由參數方程確定的函式的導數86

2.4.4相關變化率88

習題2488

2.5導數的簡單套用89

2.5.1幾何套用89

2.5.2經濟套用91

2.5.3物理套用93

習題2594

2.6函式的微分94

2.6.1微分的定義94

2.6.2微分的幾何意義96

2.6.3基本初等函式的微分公式與微分運算法則97

2.6.4微分在近似計算中的套用99

習題26100

總複習題二101

第3章微分中值定理與導數的套用103

3.1微分中值定理103

3.1.1羅爾定理103

3.1.2拉格朗日中值定理105

3.1.3柯西中值定理108

習題31110

3.2洛必達法則111

3.2.100型未定式111

3.2.2∞∞型未定式113

3.2.3其他未定式的極限115

習題32116

3.3泰勒公式117

3.3.1帶有皮亞諾型餘項的泰勒公式118

3.3.2帶有拉格朗日型餘項的泰勒公式120

3.3.3麥克勞林公式120

習題33123

3.4函式的單調性與曲線的凹凸性123

3.4.1函式單調性的判別法123

3.4.2曲線的凹凸性與拐點127

習題34130

3.5函式的極值與最值131

3.5.1函式的極值及其求法131

3.5.2函式的最值135

習題35138

3.6函式圖形的描繪139

3.6.1曲線的漸近線139

3.6.2函式圖形的描繪141

習題36143

3.7曲率143

3.7.1弧微分143

3.7.2曲率及其計算公式145

3.7.3曲率圓與曲率半徑147

習題37148

總複習題三148

第4章不定積分150

4.1不定積分的概念與性質150

4.1.1原函式的概念150

4.1.2不定積分的概念151

4.1.3不定積分的幾何意義152

4.1.4不定積分的性質153

4.1.5基本積分表153

4.1.6直接積分法154

習題41156

4.2第一類換元積分法156

習題42164

4.3第二類換元積分法165

習題43171

4.4分部積分法171

習題44176

4.5幾種特殊類型函式的積分176

4.5.1有理函式的積分176

4.5.2三角函式有理式的積分180

習題45182

總複習題四182

第5章定積分184

5.1定積分的概念與性質184

5.1.1引例184

5.1.2定積分的概念186

5.1.3定積分的近似計算189

5.1.4定積分的性質190

習題51195

5.2微積分基本公式196

5.2.1引例196

5.2.2變限積分函式及其導數197

5.2.3微積分基本公式200

習題52203

5.3定積分的換元法和分部積分法204

5.3.1定積分的換元積分法204

5.3.2定積分的分部積分法207

習題53209

5.4反常積分210

5.4.1無窮限的反常積分211

5.4.2無界函式的反常積分213

習題54216

總複習題五216

第6章定積分的套用219

6.1定積分的元素法219

6.2定積分在幾何上的套用221

6.2.1平面圖形的面積221

6.2.2體積223

6.2.3平面曲線的弧長226

習題62229

6.3定積分在物理上的套用230

6.3.1變力沿直線運動所做的功230

6.3.2水壓力231

6.3.3引力233

習題63234

6.4定積分在經濟學上的套用235

習題64237

總複習題六237

附錄A預備知識239

附錄B積分表公式244習題答案與提示254

第1章函式、極限與連續11.1函式1

1.1.1函式的概念1

1.1.2反函式3

1.1.3初等函式6

1.1.4常用的經濟函式6

1.1.5函式建模的實例8

習題1.111

1.2極限的概念12

1.2.1數列的極限12

1.2.2函式的極限13

1.2.3極限的性質16

1.2.4無窮大量與無窮小量16

習題1.218

1.3極限的運算18

1.3.1極限的四則運算法則18

1.3.2兩個重要極限20

1.3.3無窮小的比較22

習題1.324

1.4函式的連續性25

1.4.1函式連續的概念25

1.4.2連續函式的運算與性質27

思考題28

習題1.428

數學實驗1用MATLAB求函式的極限29

綜合練習131套用高等數學

（上 冊）目錄

[1][2]第2章導數與微分34

2.1導數34

2.1.1問題的引入34

2.1.2導數的概念35

2.1.3求簡單函式的導數36

習題2.138

2.2求導法則38

2.2.1導數的四則運算法則38

2.2.2反函式的求導法則39

2.2.3基本初等函式的求導公式40

2.2.4複合函式的求導法則41

2.2.5隱函式和參量函式的求導法則42

2.2.6高階導數44

習題2.245

2.3微分及其套用46

2.3.1微分的概念 47

2.3.2微分基本公式與運算法則48

2.3.3微分在近似計算中的套用50

習題2.351

數學實驗2用MATLAB求導數51

綜合練習253

第3章導數的套用56

3.1微分中值定理56

3.1.1羅爾中值定理56

3.1.2拉格朗日中值定理57

3.1.3柯西中值定理58

習題3.158

3.2洛必達法則58

3.2.100型、∞∞型不定式的洛必達法則59

3.2.2其他類型不定式極限的求法60

習題3.262

3.3函式的單調性與極值62

3.3.1函式的單調性62

3.3.2函式的極值及其求法64

3.3.3函式的最大值與最小值67

習題3.368

3.4曲線的凹凸與拐點69

3.4.1曲線凹凸的定義69

3.4.2曲線凹凸性的判定定理69

習題3.471

3.5函式的漸近性質及其圖像71

3.5.1曲線的漸近線71

3.5.2函式圖像的描繪72

習題3.574

3.6導數在經濟中的套用74

3.6.1邊際與邊際函式74

3.6.2彈性與彈性分析75

習題3.677

數學實驗3用MATLAB解決導數套用題77

綜合練習379

第4章積分及其套用82

4.1不定積分的概念和基本公式82

4.1.1不定積分的概念82

4.1.2基本積分公式84

4.1.3不定積分的性質和運算法則85

4.1.4直接積分法86

習題4.186

4.2換元積分法87

4.2.1第一類換元積分法(湊微分法)87

4.2.2第二類換元積分法 90

習題4.293

4.3分部積分法94

習題4.396

4.4定積分的概念與性質97

4.4.1引例97

4.4.2定積分的概念98

4.4.3定積分的性質100

習題4.4101

4.5牛頓萊布尼茨公式102

4.5.1積分上限函式102

4.5.2牛頓萊布尼茨公式103

習題4.5105

4.6定積分的計算105

4.6.1定積分的換元積分法105

4.6.2定積分的分部積分法107

習題4.6108

4.7無窮區間上的廣義積分109

習題4.7111

4.8定積分的套用案例111

4.8.1定積分的微元法111

4.8.2定積分在幾何上的套用112

4.8.3定積分在物理和工程技術上的套用115

4.8.4定積分在經濟上的套用115

習題4.8116

數學實驗4用MATLAB求不定積分117

數學實驗5用MATLAB求定積分118

綜合練習4119

第5章二元函式微積分簡介122

5.1二元函式的極限與連續122

5.1.1二元函式的概念122

5.1.2二元函式的極限124

5.1.3二元函式的連續125

習題5.1126

5.2偏導數和全微分126

5.2.1二元函式的偏導數126

5.2.2全微分130

習題5.2132

5.3複合函式與隱函式的偏導數132

5.3.1複合函式的偏導數132

5.3.2隱函式的偏導數134

習題5.3135

5.4二元函式的極值與最值136

5.4.1二元函式的極值136

5.4.2二元函式的最值137

5.4.3條件極值與拉格朗日乘數法139

習題5.4140

5.5二重積分140

5.5.1二重積分的概念141

5.5.2二重積分的性質142

5.5.3二重積分的計算143

習題5.5149

數學實驗6用MATLAB計算重積分150

綜合練習5150

第6章常微分方程154

6.1常微分方程的基本概念154

6.1.1實例154

6.1.2微分方程的有關概念155

習題6.1156

6.2一階微分方程156

6.2.1dydx=f(x)g(y)型微分方程157

6.2.2dydx=fyx型微分方程157

6.2.3dydx+P(x)y=Q(x)型微分方程158

習題6.2162

6.3可降階的高階微分方程162

6.3.1y(n)=f(x) 型的微分方程162

6.3.2y″=f(x,y′)型的微分方程163

6.3.3y″=f(y,y′)型的微分方程163

習題6.3164

6.4二階常係數線性齊次微分方程165

6.4.1二階常係數線性齊次微分方程解的性質165

6.4.2二階常係數線性齊次微分方程通解的求法166

習題6.4168

6.5常微分方程套用案例168

習題6.5170

數學實驗7用MATLAB解常微分方程170

綜合練習6172

參考答案175

附表基本初等函式188