馬爾科夫預測

馬爾可夫（Markov）是俄國著名的數學家。馬爾可夫預測法是以馬爾可夫的名字命名的一種特殊的市場預測方法。馬爾可夫預測法主要用於市場占有率的預測和銷售期望利潤的預測。就是一種預測事件發生的機率的方法。馬爾科夫預測講述了有關隨機變數 、 隨機函式與隨機過程。

基本介紹

• 中文名：馬爾科夫預測
• 依據：隨機變數 、 隨機函式與隨機過程
• 用途：求穩態機率矩陣
• 性質：預測

基本概念

1.1.基本概念

1.1.1 隨機變數 、 隨機函式與隨機過程

一變數x，能隨機地取數據（但不能準確地預言它取何值），而對於每一個數值或某一個範圍內的值有一定的機率，那么稱x為隨機變數。

假定隨機變數的可能值xi發生機率為Pi，即P(x = xi) = Pi，對於xi的所有n個可能值，有離散型隨機變數分布列： ∑Pi = 1 對於連續型隨機變數，有 ∫P(x)dx = 1

在試驗過程中，隨機變數可能隨某一參數（不一定是時間）的變化而變化.

如測量大氣中空氣溫度變化x = x(h),隨高度變化。這種隨參變數而變化的隨機變數稱為隨機函式。而以時間t作參變數的隨機函式稱為隨機過程。也就是說：隨機過程是這樣一個函式，在每次試驗結果中，它以一定的機率取某一個確定的，但預先未知的時間函式。

1.1.2 馬爾科夫過程

隨機過程中，有一類具有“無後效性性質”，即當隨機過程在某一時刻to所處的狀態已知的條件下，過程在時刻t>to時所處的狀態只和to時刻有關，而與to以前的狀態無關，則這種隨機過程稱為馬爾科夫過程。 即是：ito為確知,it(t>to)只與ito有關，這種性質為無後效性，又叫馬爾科夫假設。

簡例：設x(t)為大米在糧倉中t月末的庫存量，則

x(t) = x(t―1)—y(t) +G(t)

x(t)可看作一個馬爾科夫過程。

1.1.3 馬爾科夫鏈

時間和狀態都是離散的馬爾科夫過程稱為馬爾科夫鏈。例：蛙跳問題

假定池中有N張荷葉，編號為1，2，3,……,N，即蛙跳可能有N個狀態（狀態確知且離散）。青蛙所屬荷葉，為它目前所處的狀態；因此它未來的狀態，只與現在所處狀態有關，而與以前的狀態無關（無後效性成立）

寫成數學表達式為：

P( xt+1 = j | xt = it , xt-1 = it―1,……x1 = i1)

=P( xt+1 = j | xt = it )

定義：Pij = P( xt+1 = j | xt = i)

即在xt = i的條件下，使 xt+1 = j的條件機率，是從 i狀態一步轉移到j狀態的機率，因此它又稱一步狀態轉移機率。由狀態轉移圖，由於共有N個狀態，所以有

1.2 狀態轉移矩陣

1.2. 1 一步狀態轉移矩陣

系統有N個狀態，描述各種狀態下向其他狀態轉移的機率矩陣

P11 P12 …… P1N

定義為 P = P21 P22 …… P2N

: : :

PN1 PN2 …… PNN

這是一個N階方陣，滿足機率矩陣性質

1） Pij ≥ 0,i,j = 1,2, ……, N 非負性性質

2） ∑ Pij = 1 行元素和為1 ,i=1,2,…N

如： W1 = [1/4, 1/4, 1/2, 0] 機率向量

W2 = [1/3, 0, 2/3]

W3 = [1/4, 1/4, 1/4, 1/2] 非機率向量

W4 = [1/3, 1/3, -1/3,0, 2/3]

3）若A和B分別為機率矩陣時，則AB為機率矩陣。

1.2.2 穩定性假設

若系統的一步狀態轉移機率不隨時間變化，即轉移矩陣在各個時刻都相同，稱該系統是穩定的。這個假設稱為穩定性假設。蛙跳問題屬於此類，後面的討論均假定滿足穩定性條件。

1.2.3 k步狀態轉移矩陣

經過k步轉移由狀態i轉移到狀態j的機率記為

P(xt+k =j | xt = i) = Pij(k)

i,j = 1,2, ……, N

定義：k步狀態轉移矩陣為：

P11(k) P12(k) …… P1N(k)

P [k] = : : :

PN1(k) PN2(k) …… PNN (k)

當系統滿足穩定性假設時

P[k] = Pk = P· P· …… P

其中P為一步狀態轉移矩陣。

即當系統滿足穩定性假設時，k步狀態轉移矩陣為一步狀態轉移矩陣的k次方.

例：設系統狀態為N = 3，求從狀態1轉移到狀態2的

二步狀態轉移機率.

解：作狀態轉移圖

解法一：由狀態轉移圖：

1—— 1—— 2: P11 · P12

1—— 2—— 2: P12 · P22

1—— 3—— 2: P13 · P32

P12 = P11 · P12 + P12 · P22 +P13 · P32

=∑ P1i · Pi2

解法二： k = 2, N = 3

P11(2) P12 (2) P13(2)

P = P21(2) P22 (2) P23(2)

P31(2) P32(2) P33(2)

P11 P12 P13 P11 P12 P13

= P·P = P21 P22 P23 P21 P22 P23

P31 P32 P33 P31 P32 P33

得： P12(2) = P11 · P12 + P12 · P22 +P13 · P32

=∑ P1i · Pi2

套用

1.3 穩態機率：用於解決長期趨勢預測問題

即：當轉移步數的不斷增加時，轉移機率矩陣 P 的變化趨勢。

1.3. 1 正規機率矩陣。

定義：若一個機率矩陣P，存在著某一個正整數m,使P 的所有元素均為正數（Pij >o），則該矩陣稱為正規機率矩陣

例： 1/2 1/4 1/4

P = 1/3 1/3 1/3 為正規機率矩陣

2/5 1/5 2/5

0 1 P11 = 0

P=

1/2 1/2 1/2 1/2

但當 m = 2， 有 P2= 1/4 1/4 有Pij >0

它也是正規機率矩陣。（P2 每個元素均為正數）

1 0

但 P= 就找不到一個正數m,使P 的每一個元素均大於0，所以它

0 1 不是正規機率矩陣。

1.3.2 固定機率向量（特徵機率向量）

設 P為NN機率矩陣,若U = [U1, U2,…, UN]為機率向量,且滿足UP = U,稱U為P的固定機率向量

例 0 1

P=

1/2 1/2 為機率矩陣

P的固定機率向量 U = [ 1/3 , 2/3]

檢驗 UP = [1/3 2/3] 0 1

1/2 1/2

=[1/3 2/3]

1.3.3 正規機率矩陣的性質

（1）設P為NXN正規機率矩陣，則

A .P有且只有一個固定機率向量

U = [U1,U2, …… UN]

且U的所有元素均為正數 Ui > 0

B.NXN方陣P的各次方組成序列 P, P, P, …… ,P 趨於方陣T，且T的每一個行向量都是固定機率向量U。

即 U1 U2 …… UN U

lim Pk= T = : : : = :

U1 U2 …… UN U

這個方陣T稱穩態機率矩陣。

這個定理說明：無論系統現在處於何種狀態，在經過足夠多的狀態轉移之後，均達到一個穩態。因此，欲求長期轉移機率矩陣，即進行長期狀態預測，只要求出穩態機率矩陣T；而T的每個行向量都是固定機率向量，所以只須求出固定機率向量U就行了 !

（2）設X為任意機率向量，則XT = U

即任意機率向量與穩態機率矩陣之點積為固定機率向量。

事實上： U1 U2 …… UN

XT = X· : : : = [U1∑Xi U1∑Xi …… U1∑Xi ]

U1 U2 …… UN

= [U1 U2 …… UN ]

= U

例：若 0.4 0.3 0.3

P = 0.6 0.3 0.1 求T

0.6 0.1 0.3

解：設 U = [U1 U2 U3] = [U1 U2 1－U1－U2]

由 UP = U 有

0.4 0.3 0.3

[U1 U2 1－U1－U2] 0.6 0.3 0.1 = [U1 U2 U3]

0.6 0.1 0.3

即 -0.2U1 + 0.6 = U1 → U1 = 0.5

0.2U1 + 0.2U2 + 0.1 =U2 → U2 = 0.25

-0.2U2 + 0.3 = U3 → U3 = 0.25

∴ U = [0.5 0.25 0.25]

0.5 0.25 0.25

則 T = 0.5 0.25 0.25

0.5 0.25 0.25

說明

不管系統的初始狀態如何，當系統運行時間較長時，轉移到各個狀態的機率都相等。（列向量各元素相等）

即 各狀態轉移到1狀態都為0.5;

2狀態都為0.25 ;

3狀態都為0.25

1.2市場占有率預測

1.2.1短期市場占有率預測

商品在市場上參與競爭，都擁有顧客，並由此而產生銷售，事實上，同一商品在某一地區所有的N個商家（或不同品牌的N個同類產品）都擁有各自的顧客，產生各自銷售額，於是產生了市場占有率定義：

設某一確定市場某商品有N個不同品牌（或N個商家）投入銷售，第i個商家在第j期的市場占有率

Si(j) = xi(j)/x i =1,2, …… N

其中 xi(j)為第i個商家在第j期的銷售額（或擁有顧客數）

x為同類產品在市場上總銷售額（或顧客數）

市場占有率所需數據可通過顧客抽樣調查得到。

一般地,首先考慮初始條件,設當前狀態（即j = 0 ）

為 S(0) = [S1(0) S2(0) …… SN(0)]

第i個商家 Si(0) = xi(0)/x → xi(0) = Si(0) x

即當前第i個商家市場占有率與初始市場占有率及市場總量有關.

同時假定滿足無後效性及穩定性假設.

由於銷售商品的流通性質,有第i個商家第j期銷售狀況為

xi(k) = x1(0)P1i(k) + x2(0)P2i(k)+ ……+ xN(0)PNi(k)

= xS1(0)P1i(k) +xS2(0)P2i(k) + ……+ xSN(0)PNi(k)

P1i(k)

= x[S1(0) S2(0) ……SN(0)] P2i(k)

:

PNi(k)

有：Si(k) = xi(k)/x P1i(k)

= [S1(0) S2(0) ……SN(0)] P2i(k)

:

PNi(k)

故可用矩陣式表達所有狀態:

[S1(k),S2(k), …… ,SN(k)]= [S1(0),S2(0), …… ,SN(0)] P

即 S(k) = S(0) P

當滿足穩定性假設時,有

S(k) = S(0) P

這個公式稱為已知初始狀態條件下的市場占有率k步預測模型.

例:東南亞各國味素市場占有率預測,

初期工作:

a)行銷上海,日本,香港味素,確定狀態1,2,3.

b)市場調查,求得目前狀況,即初始分布

c)調查流動狀況;上月轉本月情況,求出一步狀態轉移機率.

1)初始向量:

設 上海味素狀況為1;

日本味素狀況為2;

香港味素狀況為3;

有 S(0) = [S1(0) S2(0) S3(0)] = [0.4 0.3 0.3]

2)確定一步狀態轉移矩陣

P11 P12 P13 0.4 0.3 0.3

P = P21 P22 P23 = 0.6 0.3 0.1

P31 P32 P33 0.6 0.1 0.3

3)3 步狀態轉移矩陣(假定要預測3個月後)

P11(3) P12(3) P13(3) 0.496 0.252 0.252

P 3= P21(3) P22(3) P23(3) = P 3= 0.504 0.252 0.244

P31(3) P32(3) P33(3) 0.504 0.244 0.252

4)預測三個月後市場

0.496 0.252 0.252

S(3) = S(0)P3 =[0.4 0.3 0.3] 0.504 0.252 0.244

0.504 0.244 0.252

S1(3) = 0.4×0.496 +0.3×0.504 + 0.3×0.504 = 0.5008

S2(3) = 0.2496 S3(3) = 0.2496

1.2.2 長期市場占有率預測

這是求當 k →∞ 時 S(k) → ?

我們知道: S(k) = S(0) P[k]

lim S(k) = S(0) lim P[k] = S(0)·T = U

因此,在已知初始條件下求長期市場占有率就是求穩態機率矩陣,也是求固定機率向量.

求固定機率向量的方法,我們在前一節已有例子,只不過說明了長期市場占有率也是只與穩態矩陣有關,與初始條件無關.