馬可夫性質(Markov property)與群的許多判定問題相關的一類重要的代數性質的性質。有限呈示的群的一條代數性質稱為馬可夫性質。若滿足：1）存在一個有限呈示的群具有此性質，2）存在一個有限呈示的群不能嵌人一個具有此性質的群。例如:有限性、可交換性、具有字問題可解性、單性、自由性等均為馬可夫性質。
基本介紹
- 中文名：馬可夫性質
- 外文名：Markov property
- 領域：數學
- 套用：機率論
- 別稱：馬爾科夫性質
簡介,定義,套用舉例,賭徒輸光問題,無限制隨機遊動問題,相關知識,
簡介
馬可夫性質（英語：Markov property）是機率論中的一個概念，因為俄國數學家安德雷·馬爾可夫得名。當一個隨機過程在給定現在狀態及所有過去狀態情況下，其未來狀態的條件機率分布僅依賴於當前狀態；換句話說，在給定現在狀態時，它與過去狀態（即該過程的歷史路徑）是條件獨立的，那么此隨機過程即具有馬爾可夫性質。具有馬爾可夫性質的過程通常稱之為馬爾可夫過程。
定義
數學上，如果
為一個隨機過程，則馬爾可夫性質就是
馬爾可夫過程通常稱其為（時間）齊次，如果滿足
除此之外則被稱為是（時間）非齊次的。齊次馬爾可夫過程通常比非齊次的簡單，構成了最重要的一類馬爾可夫過程。
某些情況下，明顯的非馬爾可夫過程也可以通過擴展“現在”和“未來”狀態的概念來構造一個馬爾可夫表示。設
為一個非馬爾可夫過程。我們就可以定義一個新的過程
，使得每一個的狀態表示的一個時間區間上的狀態，用數學方法來表示，即
具有馬爾可夫表示的非馬爾可夫過程的例子，例如有移動平均時間序列。
套用舉例
賭徒輸光問題
兩個賭徒甲、乙進行一系列賭博。在每一局中甲獲勝的機率為p ，乙獲勝的機率為q，p+q=1，每一局後，負者要付一元給勝者。如果起始時甲有資本a 元，乙有資本b 元，a+b=c元，兩人賭博直到甲輸光或乙輸光為止，求甲輸光的機率。
這個問題實質上是帶有兩個吸收壁的隨機遊動。這時的狀態空間為{0，1，2，…, c }, c=a+b, a1,b 1。現在的問題是求質點從a 點出發到達0狀態先於到達c 狀態機率。
無限制隨機遊動問題
質點在直線上做隨機遊動。如某一時刻質點位於i，則下一步質點以機率p向右移動一格到達i+i。或以機率1-p=q向左移一格到達i-1。若以ξ(n) 表示時刻n時質點的位置，則{ξ(n),n=0,1,2,…}是一個隨機過程。而且當ξ(n) =i時， ξ(n+1), ξ(n+2),… ξ(n+k),…等n時刻後質點所處的狀態只與ξ(n)=i有關，而與質點在n以前是如何到達i的完全無關。所以它是一個齊次馬爾可夫鏈。
