強馬爾可夫過程

強馬爾可夫過程

強馬爾可夫過程(strong Markov process)指這樣一種隨機過程,在已知它目前狀態(現在)條件下,它未來的演變(將來)不依賴於它以往的演變(過去)。這種已知“現在”的條件下,“將來”與“過去”無關的特性稱為馬爾可夫性。其中,“現在”是指固定時刻。但實際問題中常需將馬爾可夫性中的“現在”這個時刻概念推廣為停時。直觀上講,停時是描述某種隨機現象發生的時刻,它是普通時間變數的隨機化。例如,考察從圓心出發的平面上的布朗運動,要研究首次到達圓周的時刻t以前的事件和以後的事件的條件獨立性,這裡的t就是停時,並認為t是“現在”。這種把“現在”推廣為停時情形的“現在”,且在已知“現在”的條件下,“將來”與“過去”無關的特性被稱為強馬爾可夫性。具有此性質的馬爾可夫過程稱為強馬爾可夫過程。以前,許多人認為馬爾可夫過程必然是強馬爾可夫過程。直到1956年,才有人找到馬爾可夫過程不是強馬爾可夫過程的例子。馬爾可夫過程理論的進一步發展表明,強馬爾可夫過程才是馬爾可夫過程的真正研究對象。

基本介紹

  • 中文名:強馬爾可夫過程
  • 外文名:strong Markov process
  • 屬性:一類隨機過程
  • 性質:強馬爾可夫性
  • 相關概念:馬爾可夫性、馬爾可夫過程等
定義,馬爾可夫過程,

定義

強馬爾可夫過程(strong Markov process)是一類隨機過程,指具有比馬爾可夫性更強的條件無後效性的隨機過程。如果對於任意停時
(
代數),有
其中
代數,則稱馬爾可夫過程
強馬爾可夫過程。由等式(1)刻畫的性質稱為強馬爾可夫性。因為任意非負常數
都是一個停時,所以(1)式是“馬爾可夫過程”中性質2的加強(參見下文“馬爾可夫過程”),而強馬爾可夫性只不過是在描述馬爾可夫性的等式中用任意停時
代替任意固定的時刻
許多常見的馬爾可夫過程,例如,離散時間參數馬爾可夫過程,布朗運動等都具有強馬爾可夫性,但也存在馬爾可夫過程不是強馬爾可夫過程的例子。

馬爾可夫過程

馬爾可夫過程(Markov process)簡稱馬氏過程,是一類重要的隨機過程。設
為定義在機率空間
上取值於可測空間
的隨機過程,
的上升
域族,
.如果下面的性質1成立:
1.
則稱過程
馬爾可夫過程,可測空間
稱為馬爾可夫過程
的狀態空間。一般情形下,因為要考慮形如
集合的機率,人們還要求E包含所有單點集
性質1與下列性質之一等價:
2.
3.
注意,若性質1,2,3成立,則把其中的
換成
的自然
域族
後相應的性質仍成立,而且這時性質2有如下的直觀意義:當已知系統在時刻
以前(含
)的歷史時,系統在
以後的發展只依賴於系統在時刻
的狀態而與它在
以前的情況無關,此即所謂馬爾可夫性,這正是馬爾可夫過程的本質所在。
應當指出,儘管一些著作中也把馬爾可夫性稱為無後效性,但它和多數著作中提到的無後效性是不一樣的,後者是指過程的獨立增量性質。相對於此,馬爾可夫性只是一種條件無後效性。

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