非線性薛丁格方程

非線性薛丁格方程是一個含有孤立子波解的非線性方程。它與諸如非線性光學、電漿的離子聲波等理論物理中的許多非線性問題密切相關，它的解可套用與線性薛定愕方程的特徵值問題相關的逆散射問題方法求得。

基本介紹

• 中文名：非線性薛丁格方程
• 外文名：nonlinear Schrodinger equation
• 適用範圍：數理科學

定義

當勢場依賴於波函式時，就導出了非線性薛丁格方程，其一般形式為

其中，是復值函式。為是非線性作用項，典型的情形為：

當時稱為聚焦型（focusing）；

當時稱為非聚焦型（defocusing ）。

除了量子力學之外，非線性薛丁格方程還可以用來描述物理中的各種非線性波，如雷射束在折射率與波幅有關的介質中的傳播、理想流體在自由上的水波、等離子波等。

薛丁格方程

[Schrodinger equation]

薛丁格方程是量子力學中的基本方程，它與相應的附加條件一起，決定表征量子系統狀態的波函式。對於非相對論性且無自旋粒子的系統，首先由薛丁格在1926年導出，其形式為

其中，是哈密頓運算元。運算元按以下通則構造：在經典哈密頓函式H(p，r)中將粒子動量 p 及其坐標 r 用相應運算元代替，在坐標表象和動量表象中，它們分別具有如下形式：

對於由矢勢A（t，r）表征的電磁場中（電量為 e ）的帶電粒子，動量 p 要有代替（國際單位制）。在這些表象中，薛丁格方程是一個偏微分方程，如對勢場U(r)中的粒子，相應的波函式滿足

將薛丁格方程推廣到具有自旋的非相對論粒子的情況（二分量函式）稱為泡利方程（Pauli equation）；推廣到具有自旋的相對論粒子的情況（四分量函式）稱為狄拉克方程（Dirac equation）；推廣到無自旋的相對論粒子的情況稱為克萊因方程（Klein-Gordon equation）；推廣到自旋為 1 的相對論粒子的情況（函式是一向量）稱為普羅卡方程（Proca equation）。