非線性系統控制

非線性系統，指的是系統的狀態與輸出變數在外部條件的影響下，不能用線性關係來描述的系統。

非線性系統控制是指針對非線性系統而產生的控制方法與理論。

基本介紹

• 中文名：非線性系統控制
• 外文名：Nonlinear system control
• 類別：控制科學與工程
• 基礎：非線性系統
• 研究成果：精確線性化方法等
• 方法：反饋線性化等

基本概念

非線性系統

所謂非線性系統，指的是系統的狀態與輸出變數在外部條件的影響下，不能用線性關係來描述的系統。系統受到的這種影響是相對於系統輸入的運動特性來說的。由於組成系統的各部件在不同程度上存在非線性的性質，因此在實際生活中，絕對線性的系統是不存在的。為了改善系統的這種非線性性以得到穩定的系統，需要通過設計控制器來研究系統的穩定性，由此產生了相平面法、描述函式法和諧波平衡法等。在過去的幾十年里，對於非線性系統的研究，產生的很多新興的控制理論中，普遍結合了李雅普諾夫穩定性理論，例如以Kokotovic為代表的反推控制理論(Backstepping ) ，以義大利Isidorii教授為代表發展起來的微分幾何控制理論，以Swaroop和Hedrick等人為代表基於反推控制理論發展起來的動態面控制設計方法，以Zade和Mamdani教授為代表發展起來的模糊數學和模糊控制理論。迄今為止，李雅普諾夫方法己經成為研究非線性系統最常用也是最為完善的一種方法，通過構造李雅普諾夫泛函、構造系統控制器來研究非線性系統的穩定性也己取得顯著成效。

非線性控制

非線性控制系統，是這樣的控制系統，它的運動微分方程是由非線性的常微分方程描述的。
最早出現的控制系統大都被視為線性的，如液面高度調節器、瓦特蒸汽調節器。這就是說，我們採用了系統的一個線性模型來代替真實的系統。真實的系統中，某些非線性被人們用線性關係代替了，另外一些非線性則被忽略掉了，於是建立起了系統的線性模型。

隨著科學技術的發展，被控制的對象種類越來越多，控制裝置也更加複雜，同時對控制的精確性也提出了各種更高的要求，線性系統模型就顯得不適用了。例如，被控系統中常出現不衰減的自持振動，就是一個突出的例子。這種在實際中觀測到的自持振動(簡稱自振)，是線性系統模型中所不能存在的。又例如，各種繼電器系統被大量採用，用線性理論也不能分析這類控制系統。工程技術的需要促進了非線性控制系統的不斷發展，形成了控制理論的一個分支。

研究現狀

自20世紀80年代以來，非線性科學越來越受到人們的重視，數學中的非線性分析、非線性泛函，物理學中的非線性動力學，發展都很迅速。與此同時，非線性系統理論也得到了蓬勃發展，有更多的控制理論專家轉入非線性系統的研究，更多的工程師力圖用非線性系統理論構造控制器，取得了一定的成就。主要表現在以下幾個方面：

精確線性化方法

非線性控制系統理論與套用研究在近20年來取得了可喜的進展。特別是以微分幾何為工具發展起來的精確線性化方法受到了普遍的重視。通過適當的非線性狀態和反饋變換，非線性系統可以實現狀態或輸入/輸出的精確線性化，從而將複雜的非線性系統綜合問題轉化為線性系統的綜合問題。它與傳統的利用泰勒展開進行局部線性化近似方法不同，線上性化過程中沒有忽略掉任何高階非線性項，因此這種線性化不僅是精確的，而且是整體的，即線性化對變換有意義的整個區域都適用。該方法將相對廣泛的一類非線性系統經過一個微分同胚的映射或變換，也能夠像線性系統一樣，通過控制的作用可以從狀態空間中的某一初始狀態運動到另一終止狀態，此即我們線上性系統理論中熟悉的能控性。

變結構控制

早在20世紀50年代末，蘇聯學者就已開展了對變結構系統基本理論的研究。變結構控制系統所呈現出的特有性質如對干擾的不變性和降階特性，引起了西方控制界的高度重視。變結構控制嚴格的應稱為具有滑動模態的變結構控制，它是目前非線性控制系統較為普遍、較系統的一種綜合方法。構造變結構控制器的核心是滑動模態的設計，即切換函式的選擇算法。對於線性控制對象來說，滑動模態的設計已有較完善的結果，對於某些類非線性對象，也己提出了一些設計方法。變結構滑模控制實現起來比較簡單，對外干擾有較強的魯棒性。變結構滑模控制雖然有許多優點，但也存在一些不足之處，主要是會產生抖振。對於這個問題也已提出了一些消弱抖振的方法，但並未完全解決。

非線性頻域控制理論

對線性控制系統最初也是在時域內研究的，但由於當時解高階微分方程是很困難的事，人們採用拉普拉斯變換和傅立葉變換作為數學工具，將微分方程變成代數方程，然後在頻域內進行控制系統的分析與設計。頻域法實際物理意義明確，計算簡便，而且控制器設計具有魯棒性，因此在實際中得到了廣泛的使用。G. Zames於1981年提出了H∞控制的思想，其主要思路是一系統某些信號間的傳遞函式的H∞範數為最佳化指標，對於跟隨問題希望干擾頻譜對輸出產生的頻率回響為最小。H∞控制理論從現在的研究情況來看主要是在時域內討論H∞的求解方法，但它所揭示的思想是一種頻域綜合法，並可用來進行非線性控制系統的綜合。在多維頻域空間內，基於廣義頻率回響函式描述，研究非線性控制系統H∞控制的求解問題是一個重要的研究方向。

混沌動力學方法

混沌運動的發現，在科學界引起了很大波動。由於混沌運動是非線性系統一種比較普遍的運動，所以引起各個領域科學家們的廣泛興趣，己經成為各個學科的研究人員普遍關注的前沿性課題。在許多典型自適應控制系統、數字控制系統及神經網路系統中都潛在著混沌運動。G.Chen先後研究了幾個典型混沌模型和控制問題。在國內，東南大學田玉楚等用隨機控制(預測控制)的方法討論了一類簡單混沌系統的控制問題。動力學系統理論的巨大發展可能對非線性控制系統帶來重大影響。

以上的這些方法只能解決某些特定類型的非線性系統的控制問題，並且需要己知被控對象的數學模型。然而，建立某些非線性動態系統的可以用來設計有效控制策略的數學模型，並不是一件容易的事。即使建立起了它們的數學模型，往往也只能是反映系統的部分特徵的近似模型。因此，不依賴被控對象數學模型的非線性系統的控制方法具有一定的普遍適用性。

由此，韓志剛教授提出一種不依賴於系統的數學模型就可以設計系統的有效的控制律途徑。像經典的PID調節器那樣，僅從系統的某些動態特性出發，構造不依賴於系統的模型但可用於非線性、多輸入情形的調節器，稱之為無模型控制器。這種調節器具有良好的輸出跟蹤性能，大量的仿真計算和實際套用進一步說明了這種調節器的有效性。

此外，隨著智慧型控制的發展，模糊控制以及神經網路控制等方法都可以有效地解決非線性系統的控制問題。
模糊控制不需要己知被控對象的數學模型，而是基於專家經驗和領域只是總結出若干條模糊控制規則，構成描述具有不確定性、複雜對象的模糊關係，從而對系統進行控制;神經網路控制可以看作是一個具有m維向量輸入和n維向量輸出的非線性動力學系統，並通過一組狀態方程和一組學習方程加以描述，然後通過修正這些連線強度進行學習，從而調整整個網路的輸入輸出關係。

方法

早期的經典非線性控制方法包括相平面法和描述函式法等，主要以死區、飽和、間隙、摩擦和繼電等基本非線性因素為研究對象，僅適合於一些簡單的、特殊的非線性系統，難以處理複雜的非線性系統控制問題。經過近幾十年的發展，非線性系統控制理論己經取得了長足的進步，湧現出許多新的非線性系統控制方法，包括反饋線性化、反推設計法和滑模控制等。下面對這幾種常見的非線性系統控制方法進行了簡要概述。

反饋線性化

20世紀80年代，Isidori等學者提出了以微分幾何為基礎的反饋線性化方法，該方法的基本思想是通過構造微分同胚變換，將非線性系統控制問題轉化為容易處理的線性系統控制問題，然後藉助熟悉的線性方法進行控制器設計。與近似線性化相比，反饋線性化最大的特點是不會引入系統誤差，從而線性化前後的系統是拓撲等價的，因此，反饋線性化又稱為精確線性化。在實際套用中，反饋線性化一般要求系統模型精確己知，不能用來處理具有未知參數的非線性系統，這在很大程度上限制了反饋線性化方法的使用範圍。為克服這一缺陷，文獻[21〕提出了在滿足匹配條件下非線性系統的自適應反饋線性化控制方法。文獻[22〕進一步減弱了該條件，提出了一種推廣匹配條件，然而，為了保證系統的全局穩定性，要求模型中的非線性項滿足線性增長條件。

反推設計法

1991年，著名學者Kanellakopoulos, Kokotovic和Morse提出了一種具有里程碑意義的非線性設計方法一反推設計方法，該方法採用疊代遞推設計的方式，從不含控制輸入的第一個子系統開始，向含有控制輸入的子系統“反推”進行控制器設計。與反饋線性化相比，反推設計法徹底去除了推廣匹配條件，具有較強的處理非線性系統不確定性的能力。一般而言，基於標準反推設計法的控制方法要求所研究的非線性系統滿足仿射條件，針對一類非仿射高階非線性系統控制問題，有的文獻推廣並改進了標準反推設計法，提出了一種新的基於“穩定域思想”的遞推設計方案一增加冪次積分法，與標準反推設計法相比，該方法可適用於更一般的非線性系統。

滑模控制

滑模控制是一種以前蘇聯學者為代表發展起來的不連續非線性控制方法。與其他非線性控制策略相比，滑模控制不要求系統“結構”固定，而是根據系統當前狀態設計切換控制器，迫使系統沿預定的滑模面方向運動，所以滑模控制又稱為變結構控制。從理論上來講，滑模面可以按需要設計，且與系統的不確定性與外界擾動無關，因而，滑模控制具有快速回響、抗干擾性能好及易於線上實現等特點，這些優點使得滑模控制廣泛套用於實際非線性系統中。然而，滑模控制的不連續性通常會引發系統的顫振，降低了控制的精確性，並可能激發系統中未建模的高頻動態，從而破壞系統性能。為降低滑模控制中的顫振，許多學者從不同角度提出了許多解決方法，主要包括準滑動模態法、連續函式近似法和邊界層設計等。

局限性

人們對非線性系統控制理論的研究，雖然較之對線性系統的研究而言，是滯後一步，但是人們試圖取得與線性系統相平行的成果，有些問題己經有了一個良好的開端，如非線性系統的可控性，可觀測性等系統的基本性質;但是，仍有很多重大的、根本的問題並沒有得到系統化的方法。一這表明與線性系統理論相比較，非線性控制系統的理論體系遠未建立起來，也遠遠不能滿足工程技術及各種其他領域中出現的問題需要。

就非線性系統的控制問題來說，用“線性系統”的理論與方法來解決非線性問題，是一種容易想到的可能途徑。以泰勒級數展開並捨去高次項為代表的“捨去”線性化方法，雖然可以將非線性函式及系統化為線性的，但是“捨去”將使新系統面目全非，以致完全喪失非線性的最特徵的東西，另一方面，用泰勒級數展開方法，還要受到工作點的影響。一般來說系統的工作點不只是一個，工作點的改變，泰勒級數展開式也要隨之改變，所以這種線性化將面臨多個甚至無窮多個系統的控制問題。這是一個很複雜的問題;若不用泰勒級數展開的手段處理非線性系統的線性化，而將非線性系統用非線性狀態反饋及非線性狀態變換等手段化為線性系統，也不乏是處理非線性系統控制問題的一種有效方法。然而，該方法亦有其局限性，其一是這途經十分複雜，不易在實踐中實現；其二是它只能解決一類特殊類型的非線性系統。