基本介紹
- 中文名：閉包
- 所屬學科：離散數學
本質,性質,度量空間,離散數學,
本質
集合 S 是閉集若且唯若 Cl(S)=S（這裡的cl即closure，閉包）。特別的，空集的閉包是空集，X 的閉包是 X。集合的交集的閉包總是集合的閉包的交集的子集（不一定是真子集）。有限多個集合的並集的閉包和這些集合的閉包的並集相等；零個集合的並集為空集，所以這個命題包含了前面的空集的閉包的特殊情況。無限多個集合的並集的閉包不一定等於這些集合的閉包的並集，但前者一定是後者的父集。
若 A 為包含 S 的 X 的子空間，則 S 在 A 中計算得到的閉包等於 A 和 S 在 X 中計算得到的閉包（Cl_A(S) = A ∩ Cl_X(S)）的交集。特別的，S在 A 中是稠密的，若且唯若 A 是 Cl_X(S) 的子集。
性質
cl(S) 是 S 的閉父集。
cl(S) 是所有包含 S 的閉集的交集。
cl(S) 是包含 S 的最小的閉集。
集合 S 是閉集，若且唯若 S = cl（S）。
若 S 是 T 的子集，則 cl(S) 是 cl(T) 的子集。
若 A 是閉集，則 A 包含 S 若且唯若 A 包含 cl（S）。
有時候，上述第二或第三條性質會被作為拓撲閉包的定義。
在第一可數空間（如度量空間）中，cl(S) 是所有點的收斂數列的所有極限。
度量空間
對歐幾里德空間的子集 S，x 是 S 的閉包點，若所有以 x 為中心的開球都包含 S 的點（這個點也可以是 x）。
這個定義可以推廣到度量空間 X 的任意子集 S。具體地說，對具有度量 d 的度量空間 X，x 是 S 的閉包點，若對所有 r＞0，存在 y 屬於 S，使得距離 d(x,y)＜r（同樣的，可以是 x = y）。另一種說法可以是，x 是 S 的閉包點，若距離 d(x,S) := inf{d(x,s) : s 屬於 S} = 0（這裡 inf 表示下確界）。
這個定義也可以推廣到拓撲空間，只需要用鄰域替代“開球”。設 S 是拓撲空間 X 的子集，則 x 是 S 的閉包點，若所有 x 鄰域都包含 S 的點。注意，這個定義並不要求鄰域是開的。
離散數學
離散數學中，一個關係R的閉包，是指加上最小數目的有序偶而形成的具有自反性，對稱性或傳遞性的新的有序偶集，此集就是關係R的閉包。
設R是集合A上的二元關係，R的自反（對稱、傳遞）閉包是滿足以下條件的關係R'：
（i）R'是自反的（對稱的、傳遞的）；
（ii）R'⊇R；
（iii）對於A上的任何自反（對稱、傳遞）關係R"，若R"⊇R，則有R"⊇R'。
R的自反、對稱、傳遞閉包分別記為r(R)、s(R) 和t(R)。
性質1
集合A上的二元關係R的閉包運算可以複合，例如：
ts(R)=t(s(R))
表示R的對稱閉包的傳遞閉包，通常簡稱為R的對稱傳遞閉包。而tsr(R)則表示R的自反對稱傳遞閉包。
性質2
設R是集合A上的二元關係，則有
（a）如果R是自反的，那么s(R)和t(R)也是自反的；
（b）如果R是對稱的，那么r(R)和t(R)也是對稱的；
（c）如果R是傳遞的，那么r(R)也是傳遞的。
性質3
設R是集合A上的二元關係，則有
（a）rs(R)=sr（R）；
（b）rt(R)=tr（R）；
（c）ts(R)⊇ st（R）。
